DTFT의 성질

6장의 푸리에 변환 성질은 수열에서도 성립할까? 연속 변수 $\Omega$ 에 대한 DTFT의 성질은 6장의 푸리에 변환 성질과 같은 꼴이고, 다만 모든 식이 $2\pi$ 마다 되풀이된다.

성질	$x[n]$	$X(\Omega)$
선형성	$a_1x_1[n]+a_2x_2[n]$	$a_1X_1(\Omega)+a_2X_2(\Omega)$
시간 이동	$x[n-n_0]$	$e^{-j\Omega n_0}X(\Omega)$
변조	$e^{j\Omega_0 n}x[n]$	$X(\Omega-\Omega_0)$
켤레	$\overline{x[n]}$	$\overline{X(-\Omega)}$
시간 반전	$x[-n]$	$X(-\Omega)$
컨볼루션	$x_1[n]*x_2[n]$	$X_1(\Omega)X_2(\Omega)$
곱	$x_1[n]x_2[n]$	$\dfrac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X_1(\theta)X_2(\Omega-\theta)\,d\theta$
주파수 미분	$n\,x[n]$	$j\dfrac{dX(\Omega)}{d\Omega}$
차분	$x[n]-x[n-1]$	$(1-e^{-j\Omega})X(\Omega)$

성질	관계
주기성	$X(\Omega)=X(\Omega+2\pi)$
Parseval	$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\lvert x[n]\rvert^2=\dfrac{1}{2\pi}\int_{2\pi}\lvert X(\Omega)\rvert^2\,d\Omega$
짝 대칭	$x$ 가 짝 $\Leftrightarrow$ $X$ 가 짝
홀 대칭	$x$ 가 홀 $\Leftrightarrow$ $X$ 가 홀
실수·켤레 대칭	$x$ 가 실수 $\Leftrightarrow$ $X(-\Omega)=\overline{X(\Omega)}$

N점 DFT에서 달라지는 것

DFT는 $N$ 개 샘플을 한 주기로 보므로, 이동과 컨볼루션이 모두 $N$ 을 법으로 돌아 들어간다.

시간 이동은 원형 이동이 되어 $x[(n-n_0)\bmod N]\leftrightarrow e^{-j2\pi kn_0/N}X[k]$ 이다.
$X_1[k]X_2[k]$ 의 역변환은 원형 컨볼루션(circular convolution) $\sum_{m=0}^{N-1}x_1[m]\,x_2[(n-m)\bmod N]$ 이다.
곱 $x_1[n]x_2[n]$ 은 $\frac1N$ 을 곱한 $X_1$ , $X_2$ 의 원형 컨볼루션이 된다.
Parseval 관계는 $\sum_n|x[n]|^2=\frac1N\sum_k|X[k]|^2$ 이다.
실수 $x$ 이면 $X[N-k]=\overline{X[k]}$ 이다.

길이 $L_1$ , $L_2$ 인 두 수열의 선형 컨볼루션은 길이가 $L_1+L_2-1$ 이다. DFT의 곱으로 선형 컨볼루션을 얻으려면 두 수열 뒤에 0을 붙여 $N\ge L_1+L_2-1$ 로 맞춘다. 그보다 짧으면 넘친 뒷부분이 앞으로 돌아와 더해진다. 예를 들어 $[1,1,1]*[1,1]=[1,2,2,1]$ 인데, $N=3$ DFT로 계산하면 넷째 값 1이 첫째 자리에 더해져 $[2,2,2]$ 가 된다.