이산시간 정현파와 Ω

DTFT의 $\Omega$는 무엇을 재는 양일까? 샘플 하나마다 얼마나 도는지, 곧 회전 속도를 잰다.

샘플마다 Ω씩 도는 회전

4장에서 $e^{j\omega t}$는 단위원 위를 각속도 $\omega$로 쉬지 않고 도는 점이었다. 수열 $e^{j\Omega n}$은 같은 원 위에서 샘플 하나마다 $\Omega$ rad씩 건너뛰는 점이다. $n=0$에서 1에 있고, $n=1$에서 각 $\Omega$, $n=2$에서 각 $2\Omega$에 놓인다.

이산시간 정현파 $x[n]=A\cos(\Omega n+\theta)$는 이 회전의 가로 좌표이다. 진폭 $A$를 곱하고 시작 각을 $\theta$만큼 돌렸을 뿐이다. 그래서 $\Omega$를 이산시간 정현파의 주파수라고 부르고, 단위는 rad/sample이다.

이산시간 정현파는 2장의 연속 정현파와 닮았지만 두 가지가 다르다. 항상 주기적인 것은 아니고, $\Omega$가 커진다고 늘 빨라지지도 않는다.

주기적인 경우와 아닌 경우

$x[n+N]=x[n]$이 되려면 $N$샘플 동안 도는 각 $\Omega N$이 $2\pi$의 정수배여야 한다. 곧 회전이 $N$샘플 만에 정확히 몇 바퀴를 돌고 제자리로 와야 한다. $\Omega N=2\pi m$을 풀면

이므로, $\Omega/2\pi$가 유리수일 때만 주기적이다. 기약분수 $m/N$의 분모 $N$이 주기이다. $\cos(\pi n/6)$은 $\Omega/2\pi=1/12$라 주기가 12이고, $\cos(3\pi n/8)$은 $3/16$이라 주기가 16이다(그동안 연속 곡선은 세 번 돈다). $\cos(n)$은 $\Omega/2\pi=1/2\pi$가 무리수라 샘플이 정확히 되풀이되지 않는다. 샘플을 이은 모양은 주기 $2\pi$인 곡선처럼 보이지만 수열 자체는 주기가 없다.

Ω의 2π 주기성

$\Omega$는 $2\pi$마다 같은 수열을 만든다. 한 바퀴를 더 돌면 같은 자리에 오기 때문이다. $n$이 정수이므로 $\cos((\Omega+2\pi)n+\theta)=\cos(\Omega n+\theta)$이다. 따라서 $0\le\Omega<2\pi$만 보면 된다. $\Omega=0$이면 점이 움직이지 않아 모든 샘플이 같은 상수이다.

가장 빠른 진동

$\Omega$를 0에서 $\pi$까지 키우면 진동이 빨라진다. $\Omega=\pi$에서 점은 샘플마다 반 바퀴를 돌아 1과 $-1$을 오간다. $\cos(\pi n)=(-1)^n$은 샘플마다 부호가 바뀌어 가장 빠르다. $\pi$를 넘으면 다시 느려진다.

이기 때문이다. $\Omega=15\pi/8$의 샘플은 $\pi/8$의 샘플과 똑같다. 샘플 위로 빠르게 흔들리는 연속 곡선을 그릴 수도 있지만, 같은 점을 지나는 곡선은 그것 말고도 많고 샘플만으로는 구별하지 못한다.

회전 방향

복소 정현파 $e^{j\Omega n}$에서는 $\Omega$와 $2\pi-\Omega$가 같지 않다. $e^{j(2\pi-\Omega)n}=e^{-j\Omega n}$이므로 같은 속도로 반대 방향으로 돈다. $15\pi/8$은 샘플마다 $-\pi/8$씩 거꾸로 도는 회전이다. 코사인은 두 방향의 회전을 모두 담고 있어서 방향을 구별하지 못할 뿐이다. 아래 그림에서 $\Omega=\pi/8$이면 샘플마다 22.5°씩 돌아 8샘플에 반 바퀴를 돌고, $\Omega=\pi$이면 오른쪽과 왼쪽만 오간다. $\Omega=15\pi/8$은 샘플마다 337.5°를 돌지만, 샘플만 보면 시계 방향으로 22.5°씩 도는 것과 같다.

바퀴를 일정한 간격으로 찍은 영상에서도 같은 일이 일어난다. 1초에 7바퀴 도는 바퀴의 한 점을 1초에 10장 찍으면, 한 장 사이에 바퀴는 실제로 +252°를 돌지만 사진에서는 점이 −108°씩 옮겨 가는 것으로 보인다. 두 각은 같은 자리에서 끝난다. 한 장 사이에 도는 각은 $\Omega=2\pi f/f_s$이고, $\Omega$가 $\pi$와 $2\pi$ 사이이면 사진은 반대 방향으로 $2\pi-\Omega$씩 도는 것과 같다. 그 회전의 주파수는 $f_a=f-f_s$이고, 두 회전을 시간 축으로 펼친 두 나선은 사진을 찍는 순간마다 같은 점을 지난다.

바퀴의 한 점이 실제 f(Hz)로 돌고(+f는 반시계 방향) 사진을 1초에 fₛ장 찍으며, 사진을 한 원에 겹치고 찍은 순서대로 번호를 붙였다. 바깥 검은 화살표는 한 장 사이에 실제로 돈 각, 초록 화살표는 사진에 보이는 각이고, ②는 두 회전을 시간 축으로 펼친 것이다.