복조: 반송파 걷어 내기

수신기는 RF 신호에서 $I$와 $Q$를 어떻게 다시 꺼낼까?

받은 신호 $r(t)=I\cos\omega_c t-Q\sin\omega_c t$에서 $I$와 $Q$를 꺼내는 방법은 '주파수 변환' 절에서 본 두 갈래 하향 변환이다. $r(t)=\tfrac12\bigl(ze^{j\omega_c t}+\bar z e^{-j\omega_c t}\bigr)$이므로 $2e^{-j\omega_c t}$를 곱하면 $z+\bar z e^{-j2\omega_c t}$가 되고, LPF가 $-2f_c$의 항을 지우면 $z=I+jQ$가 남는다. 위 갈래($2\cos\omega_c t$)가 $I$를, 아래 갈래($-2\sin\omega_c t$)가 $Q$를 내놓는다. 수신기의 LO를 송신 반송파의 주파수와 위상에 맞춰 이렇게 내리는 복조를 동기 복조(coherent demodulation)라고 한다. Pluto는 이 곱셈과 LPF를 칩 안의 아날로그 회로에서 하고, $I$와 $Q$를 ADC 두 개로 따로 표본화한다(6장).

실제로는 두 기기의 발진기가 따로 돌아 LO가 송신 반송파와 맞지 않는다. '주파수 변환' 절에서 본 대로 두 갈래로 내리면 신호는 사라지지 않고 돌기만 한다. 그 회전이 성상도에 무엇을 하는지 본다.

• 위상 오차: 받은 반송파가 LO보다 위상이 $\theta$ 앞서면 LPF 출력은 $z\,e^{j\theta}$이다. 성상도 전체가 $\theta$만큼 돈다. QPSK는 $|\theta|<45^\circ$이면 (잡음이 없을 때) 판정이 맞지만, 넘으면 점이 이웃 사분면으로 넘어간다.
• 주파수 오차: 받은 반송파가 LO보다 $\Delta f$ 높으면 출력은 $z\,e^{j(2\pi\Delta f\,t+\theta)}$이다. 도는 각이 시간에 따라 커져서, 심볼마다 $360^\circ\cdot\Delta f/R_s$씩 더 돈다. 오래 모은 성상도에서는 점이 원을 따라 번진다.

수신기는 미리 약속한 심볼열(프리앰블, pilot)을 보고 $\theta$와 $\Delta f$를 추정해 되돌린다. 실습 4에서는 TX LO를 일부러 몇 kHz 어긋나게 설정해 이 회전을 직접 보고, 프리앰블로 되돌린다.

아래 그림은 이 회전이 판정을 어떻게 틀리게 하고, 프리앰블로 어떻게 되돌리는지 한 단계씩 계산한다. ▶ 한 번이 연산 하나이다. ②–③은 위상 오차 θ만 넣어 점을 돌리고 판정한다. ④는 주파수 오차를 더해 심볼마다 회전이 쌓이는 것을 본다. ⑤–⑦은 처음 4개 심볼로 $d_k=r_k s_k^*$를 만들어 데이터 위상을 지우고, 이웃한 $d_k$의 위상 차로 $\Delta f$를, 남은 위상으로 $\theta$를 추정한다. ⑧에서 추정한 회전을 되돌려 다시 판정한다.

합성 QPSK 심볼 16개이고, 처음 4개(01 11 00 10)는 수신기가 미리 아는 프리앰블이다. 받은 점에는 I, Q 성분마다 표준편차 0.04인 고정 잡음을 더했다. 빈 원은 보낸 점, 채운 점은 받은 점, 붉은 점은 판정이 틀린 심볼이다. 심볼 k의 회전각은 θ + 360°·(Δf/R_s)·k이다.