실수 믹서 하나로는 모자란 이유와 I/Q

지금까지는 받은 반송파와 수신기의 LO가 위상까지 같다고 보았다. 두 기기의 발진기는 따로 돌므로 실제로는 위상이 $\theta$ 만큼 다르다. 받은 신호가 $x(t)\cos(2\pi f_ct+\theta)$ 이면 같은 계산에서

\mathrm{LPF}\bigl\{x(t)\cos(2\pi f_ct+\theta)\cdot2\cos(2\pi f_ct)\bigr\}=x(t)\cos\theta

가 남는다. 위상 차이가 신호의 크기를 $\cos\theta$ 배로 줄이고, $\theta=90^\circ$ 이면 신호가 통째로 사라진다. 위상은 경로의 길이와 시간에 따라 계속 바뀌므로, 갈래 하나로 받는 수신기는 언제 신호를 잃을지 모른다.

문제가 하나 더 있다. LO보다 $\Delta$ 만큼 높은 톤 $\cos(2\pi(f_c+\Delta)t)$ 와 $\Delta$ 만큼 낮은 톤 $\cos(2\pi(f_c-\Delta)t)$ 를 같은 방법으로 내리면 둘 다 $\cos(2\pi\Delta t)$ 가 된다. 실수 신호 하나는 $+\Delta$ 와 $-\Delta$ 를 구별하지 못하기 때문이다(2장 '실수 표본과 복소 표본'). LO 위와 아래에 서로 다른 신호가 있으면 하향 변환한 뒤 같은 자리에 포개진다.

I와 Q: 두 갈래로 내리기

두 문제는 갈래를 하나 더 두어 함께 푼다. 받은 신호를 둘로 나눠 한쪽에는 $2\cos(2\pi f_ct)$ 를, 다른 쪽에는 그보다 90° 앞선 $-2\sin(2\pi f_ct)$ 를 곱하고 각각 LPF로 거른다. 위 갈래의 출력을 I(in-phase, 동상), 아래 갈래의 출력을 Q(quadrature, 직교)라고 한다. 두 LO가 90° 어긋나 있어서 이 구조를 직교 하향 변환이라고 부른다.

아래 그림은 두 갈래 수신기의 마디마다 스펙트럼을 그린 것이다. 받은 톤은 LO보다 $\Delta$ 높은 $r(t)=\cos(2\pi(f_c+\Delta)t)$ 하나이다. 먼저 두 믹서 뒤에서 선이 $\pm\Delta$ 와 $\pm(2f_c+\Delta)$ 에 서는 것을 보고, 그다음 LPF 뒤의 I와 Q, 마지막에 둘을 묶은 $z(t)$ 에서 $+\Delta$ 에만 선이 남는 것을 본다. Q 갈래의 선은 허수이고, $-\Delta$ 에서 I의 0.5와 $jQ$ 의 $-0.5$ 가 지워진다.

합성 톤이고 f_c = 3Δ로 낮춰 그렸다. 작은 스펙트럼의 선 위 숫자는 복소 계수, 선 아래는 주파수이며, 가로 간격은 실제 비율이 아니다. LPF는 이상적이고 |f| ≤ 1.2Δ만 통과시킨다.

두 갈래를 복소수 하나 $z(t)=I(t)+jQ(t)$ 로 묶으면, 곱한 것은 $2\cos(2\pi f_ct)-j2\sin(2\pi f_ct)=2e^{-j2\pi f_ct}$ 하나이다.

z(t)=\mathrm{LPF}\bigl\{r(t)\cdot2e^{-j2\pi f_ct}\bigr\}

$\cos$ 는 스펙트럼을 양쪽으로 반씩 옮겼지만 $e^{-j2\pi f_ct}$ 는 한쪽으로만 $-f_c$ 옮긴다. 그래서 $+f_c$ 둘레의 복제만 0 Hz로 오고, $-f_c$ 둘레의 복제는 $-2f_c$ 로 가서 LPF에 걸러진다. 앞의 두 문제가 이렇게 풀린다.

위상: $x(t)\cos(2\pi f_ct+\theta)$ 를 넣으면 $z(t)=x(t)e^{j\theta}$ 이다. 위상 차이는 크기를 줄이지 않고 복소수를 $\theta$ 만큼 돌리기만 한다. $|z(t)|=|x(t)|$ 는 $\theta$ 와 무관하다.
위아래: $f_c+\Delta$ 의 톤은 $e^{+j2\pi\Delta t}$ , $f_c-\Delta$ 의 톤은 $e^{-j2\pi\Delta t}$ 가 된다. 도는 방향이 반대인 두 회전이라 서로 다른 신호이고, 스펙트럼에서 $+\Delta$ 와 $-\Delta$ 에 따로 선다.

이렇게 얻은 $z(t)$ 가 복소 기저대역(complex baseband) 신호이다. '성상도' 절의 복소 포락선 $z=I+jQ$ 를 시간에 따라 이은 것이다. RF에서 $f_c$ 둘레에 있던 스펙트럼의 양의 주파수 쪽을 0 Hz 둘레로 그대로 옮겨 놓은 것이다. SDR이 표본마다 I와 Q 두 수를 넘겨주는 까닭이 이것이다. 6장에서 Pluto의 칩이 이 두 갈래를 어떻게 구현하는지 본다.

▶ 한 번이 연산 하나이다. 먼저 θ = 60°에서 받은 톤에 2cos를 곱해 평균을 내 cos θ를 얻고, 다음 −2sin 갈래에서 sin θ를 얻어 둘을 z = I + jQ로 묶는다. θ를 90°로 바꾸면 cos 갈래의 평균은 0이 되지만 |z|는 1로 남는다. ⑤와 ⑥은 '위아래 두 톤'을 한 갈래와 두 갈래로 내려 출력 스펙트럼을 견준다.

합성 신호이다. 위상 비교는 진폭 1인 톤을 반송파 3주기 동안 받아 누적 평균을 낸다. 두 톤 비교에서 두 톤의 진폭은 1, Δ = f_c/3이고 θ = 0°로 둔다. LPF는 이상적이고 잡음은 없다.

해 보기

θ = 60°에서 두 갈래를 묶는다.
관찰
I = cos 60° = 0.5, Q = sin 60° = 0.866이고 |z| = 1이다.
θ = 90°에서 같은 단계를 본다.
관찰
I = 0이 되어 한 갈래 수신기는 신호를 잃지만, Q = 1이라 |z|는 그대로 1이다.
위아래 두 톤을 한 갈래로 내린다.
관찰
두 톤이 모두 +Δ와 −Δ에 0.5씩 서서 어느 톤인지 가릴 수 없다.
두 갈래로 내린다.
관찰
위 톤은 +Δ에만, 아래 톤은 −Δ에만 높이 1로 선다.

송신은 거꾸로

송신기는 이 과정을 거꾸로 밟는다. 복소 기저대역 신호 $z(t)=I(t)+jQ(t)$ 에 $e^{j2\pi f_ct}$ 를 곱해 $+f_c$ 로 올린 뒤 실수부만 내보낸다.

s(t)=\mathrm{Re}\bigl\{z(t)\,e^{j2\pi f_ct}\bigr\}=I(t)\cos(2\pi f_ct)-Q(t)\sin(2\pi f_ct)

회로로는 I에 $\cos$ 를, Q에 $-\sin$ 을 곱해 더하는 두 갈래 상향 변환이다. 안테나로 나가는 신호는 실수라서 스펙트럼이 $\pm f_c$ 양쪽에 켤레로 서지만, 수신기가 $e^{-j2\pi f_ct}$ 로 한쪽만 내리면 $z(t)$ 가 그대로 돌아온다. 이 교재는 실수 RF 신호를 늘 $I\cos-Q\sin$ 으로 쓴다. 이 식에서 $I$ 와 $Q$ 가 반송파의 진폭과 위상을 정하는 방법은 앞의 '성상도'와 '직교 변조' 절에서 보았다.