펄스열의 대역폭

사각 펄스로 비트를 보내면 신호는 주파수에서 얼마나 넓게 퍼질까? 그 폭을 잘라 내면 무슨 일이 생길까?

LTI 시스템은 대역폭이 모자라면 신호의 모양을 바꾼다. 사각 펄스열을 RC 저역 통과 회로에 넣어 보자(강의 자료 WE4 12쪽). 출력은 천천히 오르내리고, 한 펄스의 꼬리가 다음 펄스의 시간으로 넘어간다. 이렇게 한 심볼의 파형이 다른 심볼의 시간에 섞이는 것을 심볼 간 간섭(inter-symbol interference, ISI)이라고 한다.

비트를 폭 $T$인 사각 펄스 $\pm1$로 보내는 펄스열의 스펙트럼을 보자. 사각 펄스 하나의 푸리에 변환은 $T\operatorname{sinc}(fT)$이다(신호 및 시스템 교재 6장 예제 1). 부호가 $+1$과 $-1$을 같은 확률로 갖고(평균 0) 서로 독립이면 펄스마다의 전력이 그대로 더해져, 펄스열의 전력 스펙트럼 밀도(power spectral density, PSD)가 다음 꼴이 된다.

주엽(main lobe)은 $|f|<1/T=R_s$이고, 그 바깥으로 부엽이 $1/f^2$로 천천히 줄어든다. 첫 부엽은 $f\approx1.43R_s$에서 주엽 봉우리보다 13.3 dB 낮을 뿐이다. 사각 펄스열은 대역이 끝나지 않는다.

그런데 채널의 대역폭은 정해져 있다. 주엽만 남기고 잘라 내면 스펙트럼은 $R_s$에서 끝나지만, 시간 파형이 앞뒤로 출렁이며 퍼진다(강의 자료 WE4 14쪽).

아래 그림은 사각 펄스가 이웃 채널로 번지는 문제에서 시작한다. ▶ 한 번이 연산 하나이다. ①은 바로 옆 채널(R_s–2R_s)로 새는 전력을 적분하고, ②는 스펙트럼의 첫 영점과 사이드로브를 찾는다. ③에서 대역을 R_s에서 자르면 새는 전력은 0이 되지만 펄스가 이웃 표본 시각까지 퍼지고, ④에서 아홉 펄스를 표본 시각 하나에서 더해 그 값(ISI)을 계산한다.

합성 심볼 9개(k = −4…4)를 T = 1로 그렸다. 아래 스펙트럼은 펄스 하나의 |P(f)/T|²이며 −40 dB 아래는 그리지 않는다. 대역을 자른 펄스는 |f| < R_s만 남긴 사각 펄스이다. ISI는 표본 시각의 합에서 자기 심볼의 몫 a₀·p(τ)를 뺀 값이다.

대역을 좁히면 펄스가 시간에서 넓어진다. 문제는 펄스가 겹치는 것 자체가 아니다. 수신기가 심볼 값을 읽는 표본 시각에 이웃 펄스가 값을 더하는 것이 문제이다.