REMI Lab강의 노트

Wireless Embedded Systems E04

4장 변조와 복조

성상도

반송파의 진폭과 위상을 평면 위의 점 하나로 나타낼 수 있을까?

진폭만 바꾸는 신호 Acos⁡ωctA\cos\omega_c t는 한 줄 위의 점으로 나타낼 수 있다. AA가 커지면 점이 원점에서 멀어진다(강의 자료 WE4 19쪽). 여기에 위상이 90° 다른 반송파 Bcos⁡(ωct+90∘)=−Bsin⁡ωctB\cos(\omega_c t+90^\circ)=-B\sin\omega_c t를 더하면 새 축이 생긴다(강의 자료 WE4 20쪽). 두 반송파는 한 심볼 동안 서로 직교해서 섞여도 수신기에서 다시 가를 수 있고, 그래서 서로 다른 축으로 그린다.

일반적으로 한 심볼 동안의 신호를 두 성분으로 나누어 쓴다.

s(t)=Icos⁡ωct−Qsin⁡ωct=Re⁡{(I+jQ) ejωct}=∣z∣cos⁡(ωct+∠z),z=I+jQ\begin{aligned} s(t)&=I\cos\omega_c t-Q\sin\omega_c t\\ &=\operatorname{Re}\bigl\{(I+jQ)\,e^{j\omega_c t}\bigr\}\\ &=|z|\cos(\omega_c t+\angle z),\qquad z=I+jQ \end{aligned}

II를 동상(in-phase) 성분, QQ를 직교(quadrature) 성분이라 하고, 복소수 z=I+jQz=I+jQ를 복소 포락선(complex envelope)이라고 한다. zz를 시간에 따라 이은 z(t)z(t)가 복소 기저대역 신호이고, RF 신호에서 z(t)z(t)를 꺼내는 방법은 뒤의 '주파수 변환' 절과 그다음 절에서 본다. zz의 크기가 반송파의 진폭이고 각이 위상이다. zz를 복소평면에 찍은 그림이 성상도(constellation diagram)이다. 이 교재는 실수 RF 신호를 늘 Icos⁡ωct−Qsin⁡ωctI\cos\omega_c t-Q\sin\omega_c t로 쓴다. 그래야 QQ축의 양의 방향이 위상 +90°와 같다. 복소수의 극형식과 정현파의 위상은 신호 및 시스템 교재 4장에서 다룬다.

성상도의 예는 다음과 같다(강의 자료 WE4 21쪽).

  • BPSK: 점이 ±1\pm1 두 개이다. 위상 0°와 180°가 비트 1과 0이다.
  • QPSK: 점이 네 개이다. 위상 0°, 90°, 180°, 270°의 배치와 45°, 135°, 225°, 315°의 배치 모두 QPSK이다. 성상도 전체를 45° 돌린 것이라 성질은 같다. 이 장은 뒤의 배치를 쓴다.
  • 8PSK, 16QAM: 점이 여덟, 열여섯 개이다. 16QAM은 진폭도 세 가지로 바꾼다.

FSK는 성상도의 축이 다르다(강의 자료 WE4 22쪽). 두 톤 cos⁡ω1t\cos\omega_1t와 cos⁡ω2t\cos\omega_2t를 두 축으로 두고, 비트 1은 (a1,a2)=(1,0)(a_1,a_2)=(1,0), 비트 0은 (0,1)(0,1)로 쓴다.

xFSK(t)=a1cos⁡ω1t+a2cos⁡ω2tx_{\mathrm{FSK}}(t)=a_1\cos\omega_1t+a_2\cos\omega_2t

두 톤이 한 비트 동안 직교해야 두 축이 서로 섞이지 않는다. 한 비트 TbT_b 동안 두 톤의 위상 차이가 정수 바퀴만큼 벌어지면(∣f1−f2∣Tb|f_1-f_2|T_b가 정수) 반송파 위상을 몰라도 직교한다. 잡음이 섞인 점은 대각선 a1=a2a_1=a_2를 경계로 판정한다. 직교의 뜻은 신호 및 시스템 교재의 '직교성'에서 본다.