직교 변조

QPSK 파형은 실제로 어떻게 만들까?

QPSK는 심볼마다 위상 $\phi_n\in\{\pi/4,\,3\pi/4,\,5\pi/4,\,7\pi/4\}$ 가운데 하나를 고른다. 첫 비트가 $I$ 의 부호, 둘째 비트가 $Q$ 의 부호를 정한다. 비트와 위상의 대응은 11 → π/4, 01 → 3π/4, 00 → 5π/4, 10 → 7π/4이다(강의 자료 WE4 24쪽). 코사인의 덧셈 정리를 쓰면

\cos(\omega_c t+\phi_n)=\cos\phi_n\cos\omega_c t-\sin\phi_n\sin\omega_c t

이다. $n$ 번째 심볼은 길이 $T$ 의 펄스 $p(t-nT)$ 동안만 보내므로, 심볼을 이어 붙인 신호는

\begin{aligned} s(t)&=\sum_n p(t-nT)\cos(\omega_c t+\phi_n)\\ &=\underbrace{\sum_n\cos\phi_n\,p(t-nT)}_{I(t)}\cos\omega_c t-\underbrace{\sum_n\sin\phi_n\,p(t-nT)}_{Q(t)}\sin\omega_c t \end{aligned}

이다. 합은 각 심볼의 펄스를 시간 순서로 이어 붙인다는 뜻이다. $I(t)$ 와 $Q(t)$ 는 각각 $\pm1/\sqrt2$ 를 오가는 이진 파형이다. 그래서 QPSK는 cos 반송파에 실은 BPSK와 −sin 반송파에 실은 BPSK의 합이다(강의 자료 WE4 25쪽).

송신기는 직렬 비트를 병렬 두 줄로 나누고(serial-to-parallel, S/P), 한 줄은 cos, 한 줄은 sin과 곱해 더한다(강의 자료 WE4 26쪽). 두 줄의 비트율은 각각 $R_b/2$ 이다. 같은 비트율의 BPSK와 비교하면 심볼 길이가 두 배이므로, 같은 펄스 모양에서 차지하는 대역폭이 절반이다.

반송파 하나는 진폭과 위상 두 가지만 가지는데, 심볼은 I와 Q 두 숫자이다. 두 숫자가 어떻게 반송파 하나가 되는지 아래 그림에서 한 심볼씩 따라간다. ▶ 한 번이 연산 하나이다. 비트 두 개로 점 $a=I+jQ$ 를 고르고, $I\cos\omega_c t$ 와 $-Q\sin\omega_c t$ 를 한 시각에서 계산해 더한다. 마지막 단계에서는 합이 진폭 $|a|$ , 위상 $\angle a$ 인 반송파 하나와 겹치는 것을 보고, 그 위상이 기준 cos보다 얼마만큼 앞선 시간인지 잰다.

합성 신호이다. 비트 01110010의 네 심볼 가운데 하나를 고른다. 점은 평균 전력이 1이 되게 I, Q = ±0.707로 놓았고, 반송파는 심볼당 2주기로 낮췄다(강의 자료 WE4 25쪽). 점선은 기준 cos이다. 식 줄의 곱과 합은 심볼 시작 뒤 T/16에서 계산했다.

해 보기

심볼 0(비트 01)의 두 갈래를 더한다.
관찰
t = T/16에서 I cos + (−Q sin) = −0.5 + (−0.5) = −1이다.
같은 심볼의 진폭과 위상을 본다.
관찰
|a| = 1, ∠a = 135°이고, 합은 기준 cos보다 135°/360° × T_c = 0.1875 T 앞선다.
심볼 1(비트 11)을 고른다.
관찰
I와 Q가 모두 0.707이라 ∠a = 45°이고, 합은 기준보다 0.0625 T 앞선다.
심볼 3(비트 10)을 고른다.
관찰
Q가 −0.707로 바뀌어 ∠a = −45°이고, 합이 기준 cos보다 뒤처진다.

$\cos\omega_c t$ 와 $\sin\omega_c t$ 는 한 심볼 동안 직교한다(반송파가 한 심볼 동안 정수 번의 반주기를 돌거나, $f_c\gg R_s$ 일 때). 그래서 두 BPSK를 더해 보내도 수신기가 다시 가를 수 있다. 가르는 방법이 '복조' 절의 내용이다.