펄스 성형과 Nyquist 펄스

대역을 좁히면서도 표본 시각에는 이웃 심볼이 끼어들지 않게 할 수 있을까?

모서리가 날카로운 펄스일수록 스펙트럼이 넓다. 펄스의 모양을 매끄럽게 다듬으면 대역을 줄일 수 있다(강의 자료 WE4 15쪽). 이렇게 펄스 모양을 고르는 일을 펄스 성형(pulse shaping)이라고 한다.

앞 절에서 본 것처럼 매끄러운 펄스는 이웃 심볼의 시간까지 퍼진다. 그래도 ISI가 없으려면, 이웃 펄스가 다른 심볼의 표본 시각에서 정확히 0을 지나면 된다. 펄스 $p(t)$가 다음을 만족하면 표본 시각 $kT$에서 합이 자기 심볼 값 $a_k$와 같다.

이것이 Nyquist 조건이고, 이 조건을 만족하는 펄스를 Nyquist 펄스라고 부른다. 주파수로 쓰면, 스펙트럼 $P(f)$를 $1/T$ 간격으로 옮겨 더한 것이 평평해야 한다는 조건이다. 3장에서 본 표본화의 스펙트럼 복제와 같은 계산이다.

이 조건을 만족하는 가장 좁은 스펙트럼은 폭이 $1/T$인 사각형, 곧 $|f|<1/(2T)$에서 $T$이고 밖에서 0인 스펙트럼이다. 그 역변환이 $p(t)=\operatorname{sinc}(t/T)$이다. $\operatorname{sinc}$는 $t=kT$($k\ne0$)마다 0이다. 따라서 ISI 없이 심볼률 $R_s$로 보내는 데 필요한 기저대역 대역폭은 최소 $R_s/2$ Hz이다. 거꾸로 말하면 대역폭 $B$ Hz로는 ISI 없이 초당 최대 $2B$개의 심볼을 보낼 수 있다.

심볼 하나에 비트 하나를 보내면 최소 기저대역 한쪽 폭(0 Hz에서 대역 끝까지)은 $1/(2T_b)$이다. 이 파형을 반송파에 실으면 스펙트럼이 $f_c-1/(2T_b)$에서 $f_c+1/(2T_b)$까지 걸치므로, RF에서 차지하는 폭이 $1/T_b$가 된다. 이 교재에서 대역폭은 따로 밝히지 않으면 기저대역의 한쪽 폭이다.

아래 그림은 같은 아홉 심볼을 sinc 펄스로 보낸다. 펄스가 시간에서 겹치는 것을 보고, 표본 시각 kT(k ≠ 0)마다 이웃 펄스의 값이 0인지 본다.

합성 심볼 9개에 sinc 펄스를 쓴다. 시간에서 겹쳐도 이웃 표본 시각에서는 0이고, 펄스의 스펙트럼은 R_s/2에서 끝난다.

sinc 펄스는 실제로 만들 수 없다. 앞뒤로 끝없이 이어지고 꼬리가 $1/t$로 느리게 줄어서, 유한한 길이로 자르면 스펙트럼이 더는 $R_s/2$에서 끝나지 않는다. 또 표본 시각이 조금만 어긋나도 수많은 이웃 펄스의 꼬리가 한꺼번에 더해진다. 그래서 다음 절의 raised cosine을 쓴다.