비트, 심볼, M진 변조

한 번에 비트 하나씩 보내야 할까, 여러 비트를 묶어 한 번에 보낼 수 있을까?

심볼(symbol)은 정해진 시간 $T$ 동안 보내는 파형 하나이다. 이진(binary) 변조는 심볼 하나에 비트 하나를 싣고, 파형이 두 가지이다. M진(M-ary) 변조는 비트 $k$개를 묶어 심볼 하나에 싣고, 서로 다른 파형이 $M=2^k$개 필요하다. 비트율 $R_b$(bit/s)와 심볼률 $R_s$(symbol/s, baud)는 다음 관계이다.

비트율 1 Mbit/s를 이진 변조로 보내면 심볼률도 1 Msymbol/s이고, 4진($k=2$)으로 보내면 0.5 Msymbol/s이다.

강의 자료의 표는 이진과 4진의 예이다(강의 자료 WE4 9쪽). 이진에서는 0 → −1, 1 → +1로 레벨 두 개를 쓰고, 4진에서는 00 → +3, 01 → +1, 10 → −1, 11 → −3으로 레벨 네 개를 쓴다. 뒤에서 볼 8PSK는 비트 3개를 원 위의 점 8개 가운데 하나로 보낸다.

어떤 비트 묶음을 어느 레벨에 둘지도 설계의 일부이다. 잡음 때문에 판정이 틀릴 때는 대개 바로 옆 레벨로 틀린다. 그래서 이웃한 레벨끼리 비트가 하나만 다르게 배치하면(Gray 부호) 심볼 하나가 틀려도 비트는 하나만 틀린다. 위 4진 표에서 이웃한 +1(01)과 −1(10)은 두 비트가 다르다. 00, 01, 11, 10 순서로 레벨에 놓으면 Gray 부호가 된다.

반송파의 세 성질 가운데 무엇을 비트로 바꾸느냐에 따라 ASK, FSK, PSK로 나눈다(강의 자료 WE4 10쪽).

• ASK(amplitude shift keying): 진폭 $A_k$가 비트를 나른다. $s(t)=A_k\cos 2\pi f_c t$
• FSK(frequency shift keying): 주파수 $f_k$가 비트를 나른다. $s(t)=A\cos 2\pi f_k t$
• PSK(phase shift keying): 위상 $\phi_k$가 비트를 나른다. $s(t)=A\cos(2\pi f_c t+\phi_k)$

아래 그림은 같은 비트 1 0 1 1 0을 세 방식으로 보낸 파형이다. 비트가 바뀌는 경계(세로선)에서 무엇이 바뀌는지 줄마다 비교한다.

M진으로 가면 같은 방식에서 레벨이나 위상을 늘린다. 4-ASK는 진폭 $\pm A,\pm3A$ 네 가지를, 4-PSK(QPSK)는 위상 네 가지를 쓴다(강의 자료 WE4 11쪽).

아래 그림은 같은 12비트를 M진 심볼로 바꾸는 과정이다. ▶ 한 번이 연산 하나이다. 먼저 비트를 하나씩 보내면 심볼률이 비트율과 같아지는 것을 보고, 그다음 비트를 $k$개씩 묶어 점에 놓는다. ④에서는 자연 순서와 Gray 배치를 나란히 놓고 이웃한 점끼리 비트가 몇 개 다른지 센다.

점 하나가 심볼 하나이고, 가로축(I)과 세로축(Q)의 뜻은 '성상도' 절에서 설명한다. 점은 평균 전력이 1이 되게 놓았다. 4-PAM 줄은 PSK와 같은 축척으로 그렸다.

$M$을 키우면 같은 심볼률로 비트를 더 많이 보내지만, 점 사이가 가까워져 잡음에 약해진다. 이 절충은 'EVM' 절과 '정합 필터와 판정' 절에서 다시 본다.