Raised cosine 펄스

sinc의 영점은 그대로 두고, 만들 수 있는 펄스로 바꿀 수 있을까?

Nyquist 조건은 스펙트럼을 $1/T$ 간격으로 옮겨 더한 것이 평평하기만 하면 된다. 그래서 대역 끝을 수직으로 자르지 않고, $R_s/2$를 중심으로 점대칭인 경사로 내려와도 된다. 강의 자료의 'odd-symmetrical'이 이 뜻이다(강의 자료 WE4 17쪽). 경사를 반 주기 코사인으로 만든 것이 raised cosine(RC)이다. $\beta$($0\le\beta\le1$)는 roll-off factor이고, 경사의 폭을 정한다.

펄스의 스펙트럼은 $P(f)=T\,H(f)$이고, 시간 파형은 다음과 같다.

$\operatorname{sinc}(t/T)$ 인수가 그대로 있으므로 $t=kT$($k\ne0$)의 영점도 그대로이다. 뒤의 인수가 꼬리를 더 빨리 줄여, 꼬리는 $1/t^3$로 줄어든다. 대가는 대역폭이다. 대역 끝은 $(1+\beta)R_s/2$이고, $\beta=0$이면 sinc($R_s/2$), $\beta=1$이면 $R_s$이다. $\beta\times100\,\%$를 초과 대역폭이라고 부른다. 예를 들어 $R_s=1$ Msymbol/s, $\beta=0.35$이면 기저대역 대역 끝은 675 kHz이고, 반송파에 실은 RF 신호는 1.35 MHz를 차지한다.

$\beta$를 고르는 기준은 두 가지이다(강의 자료 WE4 18쪽).

• $\beta$가 작으면 대역이 좁지만 꼬리가 길다. 표본 시각이 조금만 어긋나도 이웃 펄스의 큰 꼬리가 더해지고, 필터를 길게 만들어야 한다.
• $\beta$가 크면 대역이 넓지만 꼬리가 빨리 줄어, 표본 시각이 어긋나도 ISI가 작다.

실제 시스템은 $H(f)$를 송신기와 수신기에 반씩 나눈다. 두 필터가 각각 $\sqrt{H(f)}$이고, 이것을 root-raised-cosine(RRC) 필터라고 한다. 둘을 이어 지나면 RC가 되어 수신기의 표본 시각에서 ISI가 0이다. 송신 파형만 따로 보면 RRC는 Nyquist 펄스가 아니다. 장 끝 '송수신기의 구성' 절 그림에서 ③의 I(t)가 kT에서 ±1이 아니던 까닭이다. 수신기의 RRC는 '정합 필터와 판정' 절에서 볼 정합 필터이기도 하다. RRC는 기저대역의 디지털 필터로 만든다. 반송파 주파수에서 이렇게 가파른 필터를 만들기는 어렵다.

아래 그림의 ⑥은 RC 펄스로 보낸 아홉 심볼을 표본 시각에서 더한다. β를 바꾸면 대역 끝 (1 + β)R_s/2가 바뀌고, 표본 시각 τ를 늦추면 ISI가 생긴다. ⑦은 RC를 송신과 수신의 RRC 둘로 나눈 것이다. 송신 RRC 하나만 보면 이웃 표본 시각에서 0이 아니지만, 둘을 이어 지나면 RC가 되어 다시 0이 된다.

합성 심볼 9개에 RC 펄스를 쓴다. τ는 표본 시각이 kT에서 늦은 정도이다. RRC ∗ RRC는 ±128T 구간을 T/64 간격으로 수치 적분했다.