정합 필터와 판정

잡음이 섞인 파형에서 심볼 값을 언제, 어떻게 읽어야 할까?

하향 변환한 신호는 $z(t)=\sum_k z_k\,p(t-kT)+w(t)$이다. $w(t)$는 잡음이다. 수신기는 이것을 임펄스 응답 $h(t)=p(-t)$인 필터에 통과시킨다. 이것이 정합 필터(matched filter)이다. 정합 필터의 출력은 받은 신호와 펄스의 상관이라서, 표본 시각에 펄스의 에너지를 모두 모으고 대역 밖의 잡음은 걸러 낸다. 잡음이 백색이면 표본 시각의 신호 대 잡음비를 가장 크게 만드는 선형 필터가 정합 필터이다. 정합 필터를 상관으로 보는 설명은 신호 및 시스템 교재의 '응용: 이진 부호와 정합 필터'에 있다.

RRC 펄스는 좌우 대칭이라 $p(-t)=p(t)$이고, 수신기의 정합 필터도 RRC이다. 두 RRC를 이어 지나면 RC가 되어 $t=kT$에서 ISI가 0이다. 그다음 두 가지를 한다.

• 표본화: 정합 필터 출력을 심볼 시각 $kT$에 읽는다. 수신기는 표본 시각도 추정해야 한다. 'Raised cosine 펄스' 절에서 본 것처럼 시각이 어긋나면 ISI가 생긴다.
• 판정: 읽은 값에 가장 가까운 성상도 점을 고르고 비트로 바꾼다. QPSK는 $I$와 $Q$의 부호만 보면 된다. 판정 경계는 이웃한 점 사이의 가운데이다.

표본 시각을 고를 때 쓰는 그림이 눈 모양 그림(eye diagram)이다. 정합 필터 출력을 심볼 길이 $T$ 하나나 둘씩 잘라 같은 시간축에 겹쳐 그린다. 모든 심볼의 파형이 한 그림에 겹치므로, 표본 시각에는 파형들이 $\pm1$ 근처로 모이고 그 사이가 크게 벌어진다. 이 벌어진 모양이 눈을 뜬 것처럼 보여 붙은 이름이다. 눈이 가장 크게 열린 시각에 읽어야 잡음이 와도 판정 경계를 넘지 않는다. 잡음이 커지거나 ISI가 생기면 눈이 닫히고, 표본 시각이 어긋나면 눈의 가장자리에서 읽게 된다. 실습 D와 실습 4에서 이 그림으로 표본 시각을 고른다.

아래 그림은 잡음 σ = 0.1이 섞인 BPSK 파형에서 시작한다. ▶ 한 번이 연산 하나이다. ①은 대역 끝 $(1+\beta)/(2T)$의 이상적 LPF만 지난 신호 대 잡음비를 계산하고, ②는 뒤집은 펄스 $h$를 밀며 곱해 더하는 정합 필터를 지나 $kT$에 멈춘다. 정합 필터가 LPF보다 더 얻는 몫은 β = 0.5에서 0.65 dB이다. 대역 밖 잡음은 LPF가 이미 지우고, 정합 필터는 대역 안에서 펄스 모양에 맞춰 나머지를 얻는다. ③–④에서 kT의 표본을 읽고 96개 궤적을 겹쳐 눈을 만들고, ⑤에서 표본 시각을 τ만큼 옮겨 열림을 견준다.

합성 BPSK 96심볼이다. 송신과 수신에 같은 RRC(±8T, 에너지 1)를 두었고, 잡음은 T당 40표본에 표본마다 분산 σ²인 백색 잡음이다. 궤적 하나는 2T 구간이다. 눈의 열림은 +1 심볼의 가장 낮은 표본에서 −1 심볼의 가장 높은 표본을 뺀 값이다.

비트율과 SNR

같은 송신 전력에서 비트율을 올리면 왜 오류가 늘까?

수신 신호의 전력이 $P$이고 비트율이 $R_b$이면, 비트 하나에 실리는 에너지는 $E_b=P/R_b$이다. 잡음은 주파수마다 같은 전력 밀도 $N_0$(W/Hz, 양의 주파수만 세는 한쪽 밀도)를 갖는 백색 잡음이라고 하자. 신호에 더해지고 진폭이 가우스 분포를 따르는 이런 잡음을 AWGN(additive white Gaussian noise)이라고 한다. 정합 필터를 쓰는 수신기의 비트 오류율(bit error rate, BER)은 $E_b/N_0$로 정해진다. Gray 부호의 BPSK와 QPSK는 다음과 같다.

$Q(x)$는 표준 정규 분포에서 $x$보다 클 확률이다. 직교 성분 $Q$와 같은 글자이지만 다른 양이다. 몇 값을 계산하면 다음과 같다.

비트율을 두 배로 올리면 같은 전력에서 $E_b$가 절반, 곧 3 dB 줄어든다. 10 dB에서 7 dB로 내려가면 오류율은 약 200배가 된다. 대역폭으로 보아도 같다. 심볼률이 두 배가 되면 펄스의 대역도 두 배이고, 수신기 필터를 지나는 잡음 전력 $N_0B$도 두 배라서 SNR이 3 dB 떨어진다. 여기서 $B$는 RF에서 잡음을 받는 폭으로, 기저대역 한쪽 폭의 두 배이다. 두 설명은 $E_b/N_0=\mathrm{SNR}\cdot B/R_b$로 이어진다. 장 끝 '송수신기의 구성' 절의 두 번째 그림에 적힌 신호 대 잡음비 $20\log_{10}(a/\sigma)$가 $E_s/N_0$와 같은 것은, 이 합성 신호의 잡음도 같은 RRC로 성형해 잡음 대역폭을 $R_s$로 두었기 때문이다. QPSK는 심볼 하나에 비트가 둘이라 $E_b/N_0$는 그보다 3 dB 낮다. σ = 0.5(6 dB)이면 $E_b/N_0$ = 3 dB이고, 위 식으로 $P_b\approx2\%$이다. 위의 3 dB 근사로 계산하면 16비트에서 기대하는 오류 수는 약 0.37개이며, 그림의 1비트 오류는 한 번 뽑은 잡음에서 나온 결과이다.

잡음의 전력 밀도가 평평하므로, 잡음을 줄이는 방법은 신호가 없는 대역을 걸러 내는 것이다. 정합 필터가 그 일을 가장 잘한다. 그보다 좋아지려면 비트당 에너지를 늘려야 한다. 송신 전력을 올리거나 비트율을 낮춘다. 실습 4에서는 TX 감쇠(곧 SNR)와 비트율을 바꿔 가며 BER을 잰다.