주파수 변환: 곱셈으로 스펙트럼 옮기기

0 Hz 둘레에 있는 기저대역 신호를 2.4 GHz 둘레로 올리고, 받은 쪽에서 다시 0 Hz 둘레로 내리려면 회로는 무엇을 해야 할까?

곱셈이 스펙트럼을 옮긴다

신호 및 시스템에서 푸리에 변환의 성질 하나를 배웠다. 신호에 정현파를 곱하면 스펙트럼이 그 정현파의 주파수만큼 옮겨 간다.

$\cos(2\pi f_ct)=\tfrac12e^{j2\pi f_ct}+\tfrac12e^{-j2\pi f_ct}$이고, $e^{j2\pi f_ct}$를 곱하면 스펙트럼 전체가 $+f_c$만큼, $e^{-j2\pi f_ct}$를 곱하면 $-f_c$만큼 옮겨 가기 때문이다(신호 및 시스템 교재의 '주파수 이동과 변조'). 2장에서 DFT의 성질로 다시 본 것도 이 성질이다.

송수신기에서 주파수를 옮기는 일은 모두 이 곱셈이다. 두 신호를 곱하는 회로를 믹서(mixer, 혼합기)라고 하고, 곱할 정현파 $\cos(2\pi f_{\mathrm{LO}}t)$를 만드는 발진기를 LO(local oscillator, 국부 발진기)라고 한다. 믹서는 이름과 달리 두 신호를 섞어 더하는 것이 아니라 곱하는 소자이다. SDR에서 'LO 주파수를 정한다'는 것은 이 곱셈에 쓸 정현파의 주파수를 정한다는 뜻이다.

상향 변환

송신기는 기저대역 신호 $x(t)$에 LO 출력 $\cos(2\pi f_ct)$를 곱한다. 스펙트럼은 0 Hz 둘레에서 $+f_c$ 둘레와 $-f_c$ 둘레로 절반씩 옮겨 간다. 이것이 상향 변환(up-conversion)이다. $x(t)$가 실수이면 $X(-f)=\overline{X(f)}$이므로, 실수 신호 $x(t)\cos(2\pi f_ct)$의 스펙트럼도 $\pm f_c$에서 서로 켤레인 모양이 된다. 양의 주파수 쪽 복제 하나만 보면 기저대역 스펙트럼이 그대로 $f_c$ 둘레에 놓인 것이다.

하향 변환과 저역 통과 필터

받은 신호 $r(t)=x(t)\cos(2\pi f_ct)$에 같은 LO 출력을 한 번 더 곱하면 어떻게 될까? 곱셈마다 복제가 $\pm f_c$만큼 옮겨 가므로, $+f_c$에 있던 복제는 $0$과 $+2f_c$로, $-f_c$에 있던 복제는 $-2f_c$와 $0$으로 간다. 0 Hz에서는 두 복제가 겹친다. 아래처럼 곱하는 LO의 크기를 2로 잡으면 0 Hz 쪽은 원래 스펙트럼과 같은 크기가 된다. 식으로 보면 $2\cos^2\theta=1+\cos2\theta$에서

이다(곱하는 LO의 크기를 2로 잡아 0 Hz 쪽이 $x(t)$ 그대로 나오게 했다). 뒤의 항은 $\pm2f_c$ 둘레에 있으므로 저역 통과 필터(LPF)가 지우고 $x(t)$만 남긴다. LO를 곱하고 LPF로 거르는 이 과정이 하향 변환(down-conversion)이다. 상향 변환과 하향 변환은 같은 곱셈이고, 하향 변환에는 LPF가 하나 더 붙는다.

▶ 한 번이 연산 하나이다. ③에서 한 시각의 x(t)와 LO 값을 곱하고, ④에서 스펙트럼의 선 네 개가 각각 어디로 옮겨 가는지 계산한다. LO 주파수 $f_c$를 바꾸면 옮겨 가는 거리가 함께 바뀐다. ⑤와 ⑥에서는 같은 LO를 한 번 더 곱하고 LPF로 걸러 x(t)를 되찾는다.

합성 신호이다. 주파수 0.5B와 B인 두 정현파를 더했고, f_c는 2B–6B로 낮춰 그렸다. 스펙트럼의 선 높이는 델타 가중치이다. 선의 색은 그 선이 원래 기저대역의 양의 주파수에서 왔는지(파랑) 음의 주파수에서 왔는지(보라)를 옮겨 간 뒤에도 따른다. LPF는 |f| ≤ 1.2B만 통과시킨다.