구: 세 영역

같은 모양이라도 크기와 파장의 비가 바뀌면 RCS가 어떻게 바뀌는가? 금속 구는 어느 방향에서 보아도 모양이 같아 이 질문에 답하기 좋다. 반지름 $a$인 도체 구의 RCS는 Mie 급수로 정확히 계산된다.

$\zeta_n(x)=x\,h_n^{(1)}(x)$는 Riccati–Hankel 함수이다. 여기서는 식의 세부보다 계산 결과를 쓴다. 가로축을 $ka=2\pi a/\lambda$, 곧 구의 둘레를 파장으로 잰 값으로 두면 곡선이 세 영역으로 나뉜다.

• Rayleigh 영역($ka<1$): 구가 파장보다 작고, $\sigma\approx9\pi a^2(ka)^4$로 파장의 네제곱에 반비례한다. 빗방울이 마이크로파를 약하게 되돌리는 것은 이 영역에 들기 때문이다.
• 공진 영역($1\le ka<10$): 정면에서 반사한 파와 구의 뒤를 돌아 나온 파(creeping wave)가 서로 더해지거나 상쇄된다. $ka=1.03$에서 $\sigma=3.65\pi a^2$로 가장 크다.
• 광학 영역($ka\ge10$): 구가 파장보다 훨씬 커서 $\sigma$가 실제 단면적 $\pi a^2$에 다가간다.

그림에서 ▶를 누를 때마다 정면 반사, 구의 뒤를 돌아 나온 creeping wave, 두 파의 합이 차례로 그려지고, 합의 길이의 제곱이 곡선 위의 점으로 놓인다.

곡선은 Mie 급수를 ka = 0.1–100에서 계산한 σ/(πa²)이고, 점선은 Rayleigh 근사 9(ka)⁴이다. 복소평면은 Mie 급수의 후방 산란 진폭을 정면 반사의 위상을 0으로 두고 정면 반사(길이 1)와 나머지(creeping wave)로 나누어 이어 그린 것이다.

creeping wave는 정면 반사보다 구의 뒤쪽 반 둘레 $\pi a$와 $2a$를 더 지나온다. 그래서 $ka$가 1 늘 때마다 정면 반사보다 위상이 $\pi+2=5.14$ rad쯤 더 돈다. 그림의 Mie 계산에서 $ka=1$–10 사이의 기울기는 5.24 rad이다. 반지름을 조금만 바꿔도 creeping wave의 바늘이 돌아 정면 반사와 더해지거나 상쇄되고, 곡선이 오르내린다. $ka$가 커지면 creeping wave가 약해져 합이 정면 반사의 길이 1, 곧 $\sigma=\pi a^2$에 다가간다. $ka<1$에서는 구가 파장보다 작아 두 파로 나누는 그림이 맞지 않는다. 세 영역의 경계 $ka=1$과 10은 관례로 정한 값이다.

77 GHz에서 반지름 5 cm 구는 $ka=80.7$로 광학 영역에 있고, $\sigma=\pi a^2=-21.1$ dBsm이다. 이처럼 방향에 상관없이 RCS를 계산할 수 있어서, 금속 구는 RCS 측정의 기준 물체로 쓰인다. 반지름 0.5 mm의 도체 구는 77 GHz에서도 $ka=0.81$이라 $-56.8$ dBsm에 그친다.