배열과 빔포밍

안테나 하나는 에코가 얼마나 센지는 알려 주지만 어디서 왔는지는 알려 주지 않는다. 안테나 여러 개를 한 줄로 놓으면 에코가 안테나마다 조금씩 늦게 닿고, 그 늦음이 위상의 무늬를 남긴다. 그 무늬를 적은 것이 스티어링 벡터이고, 안테나 값에 가중치를 곱해 더하면 한 방향만 강하게 받는 빔이 된다. 빔폭은 배열의 길이가 정하고, 안테나 간격, 가중치의 크기, 대역폭, 위상 천이기의 정밀도도 빔의 모양을 바꾼다.

예제 배열은 77 GHz($\lambda=3.893$ mm) 레이다의 균일 선형 배열(uniform linear array, ULA)이다. 안테나는 간격 $d$로 한 줄에 놓이고, 따로 말하지 않으면 $d=\lambda/2=1.947$ mm이다. 각 $\theta$는 배열의 정면에서 재고, $\theta>0$이면 에코가 안테나 0에 먼저 닿는다. 위상 규칙은 1장과 같아서, 비교한 신호(송신 신호 × 수신 신호의 켤레)에서는 에코가 늦게 닿은 안테나의 위상이 크다.

안테나 N개와 스티어링 벡터

안테나가 여럿이면 들어오는 방향이 위상에 어떤 무늬를 남기는가? 안테나가 두 개이면 위상 차는 $\Delta\phi=2\pi d\sin\theta/\lambda$이다(1장).

안테나를 $N$개로 늘려도 규칙은 같다. 안테나 $n$은 안테나 0에서 $nd$만큼 떨어져 있으므로 파면까지 $nd\sin\theta$를 더 가야 한다. 그래서 안테나 $n$과 안테나 0의 위상 차는 안테나 1과 안테나 0의 위상 차의 $n$배이다.

$\mathbf a(\theta)$를 스티어링 벡터(steering vector)라 한다. 스티어링 벡터는 방향 $\theta$에서 온 평면파가 배열에 남기는 위상의 무늬이고, 그 위상은 안테나 하나를 건널 때마다 같은 각 $\phi_1$만큼 더 돈다. 이는 시간 축에서 $e^{j\Omega m}$이 샘플마다 $\Omega$씩 도는 것과 같은 꼴로, 시간 대신 안테나 번호가 샘플의 번호가 되고 방향이 주파수 구실을 한다.

그림에서 ▶를 누를 때마다 안테나 하나가 더 가야 하는 길이 붉은 선으로 그려지고, 그 길이가 만든 위상이 바늘로 선다. 안테나 1까지 보면 1장의 두 안테나 그림과 같다. θ = 20°에서 안테나 1은 0.17λ를 더 가야 하고 위상이 61.6° 크다.

77 GHz, d = λ/2인 안테나 8개이다. ①의 붉은 선이 안테나 n이 안테나 0보다 더 가야 하는 길이 n·d·sin θ이고, ②의 바늘이 안테나 n의 위상 φ_n이다.