탐지 이론

8장의 RD 맵(range-Doppler map)에서 표적은 주변보다 밝은 셀로 보였다. 그런데 잡음만 있는 셀도 가끔 밝게 튄다. 어느 셀에 표적이 있다고 말하려면 임계값을 정해야 하고, 임계값은 두 가지 실수 사이의 트레이드오프를 정한다. 표적이 없는데 있다고 하는 false alarm과, 표적이 있는데 없다고 하는 미탐지이다. 두 실수의 확률은 잡음과 표적의 진폭 분포에서 셈한다. 같은 확률을 얻는 데 필요한 SNR은 펄스를 여러 개 모으면 달라지고, 표적의 RCS가 요동해도 달라진다.

이 장은 한 셀의 복소 샘플 $x=s+n$ 을 모형으로 쓴다. 잡음 $n$ 은 I와 Q가 각각 분산 $\sigma_n^2$ 인 복소 정규 분포를 따르고, 표적은 진폭 $A$ 의 복소 상수 $s$ 이다. 샘플 하나의 SNR은 $A^2/(2\sigma_n^2)$ 이다. 탐지기는 진폭 $r=|x|$ 를 임계값 $T$ 와 비교한다.

잡음과 표적의 진폭 분포

잡음만 있는 셀과 표적이 있는 셀에서 진폭은 어떻게 퍼지는가? I와 Q가 서로 무관한 정규 분포이면, 원점에서 떨어진 거리 $r=\sqrt{I^2+Q^2}$ 는 Rayleigh 분포를 따른다.

p(r\,|\,H_0)=\frac{r}{\sigma_n^2}e^{-r^2/2\sigma_n^2},\qquad r\ge0

표적이 있으면 복소평면의 중심이 원점에서 $A$ 만큼 옮겨 가고, $r$ 은 Rician 분포를 따른다. $I_0$ 는 0차 변형 Bessel 함수이다.

p(r\,|\,H_1)=\frac{r}{\sigma_n^2}e^{-(r^2+A^2)/2\sigma_n^2}\,I_0\!\left(\frac{Ar}{\sigma_n^2}\right)

$A=0$ 이면 $I_0(0)=1$ 이라 Rayleigh로 돌아가고, $A\gg\sigma_n$ 이면 평균 $A$ , 표준편차 $\sigma_n$ 의 정규 분포에 가까워진다.

막대는 σ_n = 1인 복소 잡음과 진폭 A의 표적에서 뽑은 샘플의 진폭 분포이다. 붉은 선이 위의 두 식이고, 세로 점선은 |x| = 3이다.

해 보기

샘플 3000개를 모았을 때 두 막대그래프를 식과 비교하라.
관찰
막대가 두 식에 붙는다. 잡음의 평균 진폭은 $1.246$ 으로 Rayleigh 평균 $\sqrt{\pi/2}=1.253$ 에 가깝다. 잡음이 3을 넘는 비율은 $0.0090$ , 식으로는 $e^{-9/2}=0.0111$ 이다.
표적이 없으면 두 막대그래프가 어떻게 되는지 확인하라.
관찰
두 막대그래프가 같은 Rayleigh 모양이 된다.