도래각 추정

빔(10–11장)은 방향마다 출력을 계산해 피크를 찾으므로, 빔폭보다 가까운 두 표적을 가를 수 없다. 안테나 값을 여러 번 모아 공분산 행렬을 만들고 그 행렬의 구조를 쓰면 빔폭보다 가까운 두 방향도 가를 수 있다. 어떤 방법이 언제 가르고 언제 실패하는지는 안테나 수, SNR, 스냅숏 수가 정한다.

배열은 안테나 $N$개, 간격 $d=\lambda/2$의 균일 선형 배열이다. 스티어링 벡터는 10장과 같이 $a_n(\theta)=e^{+j\pi n\sin\theta}$이다. 들어오는 신호의 방향을 도래각(direction of arrival, DoA)이라 한다. 잡음은 안테나마다 서로 무관하고 전력이 1이며, SNR은 안테나 하나에서 잰 신호 전력과 잡음 전력의 비이다.

스냅숏과 공분산 행렬

한 번 받은 값 대신 여러 번 받은 값을 모으면 무엇을 알 수 있는가? 안테나 $N$개가 한 순간에 받은 값의 벡터가 스냅숏(snapshot) $\mathbf x_q$이다. FMCW 레이다에서는 표적이 있는 range bin에서 chirp마다 스냅숏을 하나씩 얻는다. 방향 $\theta_1,\dots,\theta_D$에서 신호 $D$개가 들어오면 스냅숏은 다음과 같다.

$s_{i,q}$는 스냅숏 $q$에서 신호 $i$의 복소 진폭이고 $\mathbf n_q$는 잡음이다. 스냅숏 $N_{\text{snap}}$개로 공분산 행렬을 다음과 같이 추정한다.

신호끼리 무관하고 $N_{\text{snap}}$가 크면 $\hat{\mathbf R}$은 $\sum_iP_i\,\mathbf a(\theta_i)\mathbf a(\theta_i)^{\mathsf H}+\mathbf I$에 가까워진다. $P_i$는 신호 $i$의 전력이다. 앞의 합은 벡터 $D$개가 펼치는 공간에만 값이 있으므로, $\hat{\mathbf R}$의 고윳값은 큰 것 $D$개와 잡음 전력 1 근처의 $N-D$개로 갈린다.

안테나 8개(d = λ/2), −20°와 15°의 무관한 두 신호(안테나마다 SNR 10 dB)이다. ②는 |R̂|를 밝기로, ③은 R̂의 고윳값을 dB로 그렸다.