Range-Doppler 처리

FMCW 레이다는 chirp 하나마다 샘플을 수백 개 받고, chirp를 수십 번 되풀이한다. 그 샘플을 행렬로 모으면 열 방향 DFT로 거리를, 행 방향 DFT로 속도를 구한다. 거리는 chirp 하나 안의 주파수로, 속도는 chirp에서 chirp로 넘어갈 때 도는 위상으로 나타난다.

예제 레이다는 반송파 $f_c=77$ GHz($\lambda=c/f_c=3.893$ mm), 대역폭 $B=300$ MHz, chirp 길이와 반복 간격 $T_c=50$ µs이고, 수신 신호를 복소(I/Q) 샘플로 $f_s=5.12$ MHz에 $N_s=256$개 받는다. 한 프레임은 chirp $N_c=64$개이다. 표적은 둘이다. 표적 A는 20 m에서 5 m/s로 다가오고, 표적 B는 35 m에서 1.5 m/s로 멀어진다. 속도의 부호는 다가오는 쪽을 $v_r>0$으로 둔다.

한 프레임의 샘플 행렬

한 프레임의 샘플은 어떻게 행렬로 모이는가? FMCW 레이다의 송신기는 주파수가 시간에 비례해 오르는 chirp를 보낸다. chirp 하나 동안 주파수는 $f_c$에서 $f_c+B$까지 기울기 $K=B/T_c$로 오른다. 예제에서는 $K=300\text{ MHz}/50\,\mu\text{s}=6$ MHz/µs이다.

거리 $R$에 있는 표적에서 돌아온 신호는 왕복 시간 $\tau=2R/c$만큼 늦다. 수신기는 송신 신호에 수신 신호의 켤레를 곱한다. 두 신호는 같은 기울기로 오르고 $\tau$만큼 어긋나 있으므로, 곱한 신호(IF 신호)의 주파수는 그 시각의 두 주파수 차이 $K\tau$로 일정하고, 이 주파수를 beat frequency라 한다.

표적 A(20 m)는 $\tau=0.133$ µs, $f_b=800.6$ kHz이다. 거리가 주파수로 바뀌었으므로, 거리를 재려면 주파수를 재면 된다.

IF 신호를 $f_s$로 샘플링(표본화)하면 chirp 하나에서 샘플 $x[n]$, $n=0,\dots,N_s-1$을 얻는다. 샘플 간격은 $1/f_s=0.195$ µs이고, 256개를 모으는 데 $256/f_s=50$ µs, 곧 chirp 하나가 걸린다. chirp 안의 이 시간을 fast time(빠른 시간)이라 한다.

chirp는 $T_c$마다 되풀이된다. chirp 번호 $m=0,\dots,N_c-1$을 slow time(느린 시간)이라 한다. chirp $m$의 샘플을 행렬의 열 $m$에 넣으면 한 프레임이 $N_s\times N_c=256\times64$ 행렬 $x[n,m]$이 된다.

표적 A(20 m, 5 m/s로 다가옴)와 B(35 m, 1.5 m/s로 멀어짐, 진폭 0.5)에서 돌아온 신호로 만든 프레임이고, τ와 f_b는 실제보다 크게 그렸다. ①은 chirp 네 개의 송신(실선)과 수신(점선) 주파수로 지금 받는 chirp를 강조했고, ②는 그 chirp의 beat 샘플, ③은 지금까지 받은 chirp를 열로 쌓은 행렬이며 셀의 밝기가 Re x[n, m]이다.

행렬의 열 안에서는 밝기가 빠르게 오르내린다. 이 오르내림이 beat이고, 그 빠르기가 거리를 알려 준다. 이웃한 열 사이에서는 무늬가 조금씩 밀리는데, 이 밀림은 chirp 사이에 도는 위상이며 속도를 알려 준다.