펄스 압축

10 µs 펄스가 어떻게 10 m를 가르는가? 정합 필터는 받은 신호에 replica(기준 신호)를 밀어 대고 곱해 더한다. chirp의 replica를 $\Delta$ 만큼 밀어 곱하면, 두 chirp의 주파수가 언제나 $K\Delta$ 만큼 차이 나므로 곱은 주파수 $K\Delta$ 인 톤이 된다.

s(t)\,s^*(t-\Delta)=\exp\!\big(j2\pi K\Delta\,t+\text{상수}\big)

겹친 구간 $T_p-|\Delta|$ 에서 이 톤이 한 바퀴를 돌면, 더한 값은 0이 된다. $K\Delta T_p\approx1$ , 곧 $\Delta\approx1/B$ 에서 출력이 처음 0이 된다. 그래서 정합 필터 출력의 폭은 펄스 폭 $T_p$ 가 아니라 $1/B$ 이다.

|\chi(\Delta)|=\frac{\big|(T_p-|\Delta|)\,\mathrm{sinc}\big(K\Delta(T_p-|\Delta|)\big)\big|}{T_p},\qquad \mathrm{sinc}\,x=\frac{\sin\pi x}{\pi x}

예제보다 작은 chirp(B = 3 MHz, T_p = 10 µs, BT = 30)를 12 MHz로 샘플링(표본화)해, 샘플 간격 1/f_s = 83.3 ns에서 1/B가 4샘플이다. ①은 에코와 샘플 m개만큼 민 replica의 실수부, ②는 겹친 구간의 곱, ③은 지금까지의 출력이고, 마지막 단계의 점선은 위 식의 |χ(Δ)|이다.

한 샘플 밀면 곱이 25 kHz의 톤이 되어 겹친 구간에서 0.25바퀴를 돌고, 출력은 0.894가 된다. 네 샘플이면 0.97바퀴로 거의 한 바퀴라 출력은 0.033이다. 10 µs 길이의 에코가 4샘플, 곧 $1/B=0.33$ µs 폭의 피크로 줄었다. 이것을 펄스 압축(pulse compression)이라 한다. 다섯 샘플부터는 톤이 한 바퀴를 넘어 다시 조금씩 남는다. 이것이 사이드로브이다.

해 보기

replica가 에코와 정확히 맞을 때 곱과 출력을 확인하라.
관찰
곱이 상수 1이고 출력은 1이다. 모든 샘플이 같은 위상으로 더해진다.
replica가 에코에서 네 샘플 어긋나면 출력이 얼마인지 확인하라.
관찰
톤이 0.97바퀴를 돌아 출력이 0.033으로 거의 0이다. 첫 영점이다.
모든 어긋남에서 샘플로 계산한 출력을 공식의 |χ(Δ)|와 비교하라.
관찰
공식의 |χ(Δ)|와 샘플로 계산한 출력이 겹친다.