Stretch processing: FMCW로 가는 다리

대역폭이 수백 MHz이면 ADC를 그만큼 빠르게 돌려야 하는가? 관심 있는 거리 윈도우가 좁다면 그렇지 않다. 받은 chirp에 같은 기울기의 기준 chirp를 곱하면, 정합 필터 절에서 본 것처럼 두 chirp의 주파수 차이가 일정한 톤이 남는다. 기준 chirp를 거리 윈도우의 앞 끝 $R_{\text{ref}}$의 지연 $\tau_{\text{ref}}$에 맞추면, 비교한 신호(기준 × 수신의 켤레)의 주파수는 다음과 같다.

1장의 규칙대로 늦게 온 에코일수록 위상이 빨리 늘어나 $f_b$가 크다. 거리가 주파수로 바뀌었다. 이 톤을 FFT 하면 피크가 선 자리에서 거리를 얻는다. 이 방법을 stretch processing(dechirp)이라 한다.

그림에서 ▶를 누를 때마다 기준 chirp, 에코 chirp, 둘을 곱한 비교 신호, 그 신호의 스펙트럼이 차례로 그려지고, 비교 신호가 그려진 뒤에야 그 주파수 $f_b$가 나온다.

B = 150 MHz, T_p = 100 µs, K = 1.5 MHz/µs인 chirp이고 거리 윈도우는 300 m이며, ①의 지연은 실제보다 8배 넓게 그렸다. ②는 비교 신호의 실수부를 에코가 시작한 뒤 5 µs 동안 50 MHz로 샘플링해(간격 20 ns) 계산한 것이고, ③은 그 신호 전체의 스펙트럼을 거리 축에 그린 것이다.

윈도우의 앞 끝에서 120 m 뒤의 표적은 $f_b=1.5\text{ MHz}/\mu\text{s}\times0.801\,\mu\text{s}=1.20$ MHz이다. 윈도우 끝 300 m에서도 $f_b=3.00$ MHz이므로, 복소 샘플링을 3 MHz 남짓으로만 하면 된다. chirp 자체의 150 MHz를 샘플링하는 것보다 50배 느리다. 분해능은 여전히 $c/(2B)=1.0$ m이다. 톤의 길이가 $T_p$이므로 FFT가 가르는 주파수 간격, 곧 ③의 피크 폭이 $1/T_p=10$ kHz이고, 이 간격이 거리로 $c/(2KT_p)=c/(2B)$이기 때문이다.

FMCW 레이다는 이 방법을 연속으로 쓴다. 기준 chirp가 송신 chirp 자체라 기준 지연이 0이고, 따라서 $f_b=2KR/c$이다. 7장의 beat frequency가 이것이다.