잡음과 SNR

에코가 1 fW이면 잡음보다 큰가? 수신기에는 에코 말고도 열잡음이 들어온다. 열잡음은 저항 속 전자의 열운동이 만들며, 온도 $T_0=290$ K에서 1 Hz마다 $k_BT_0$의 전력을 낸다($k_B$는 Boltzmann 상수).

수신기는 대역폭 $B$ 안의 잡음을 모두 받는다. 증폭기와 혼합기는 자기 잡음을 더해, 입력으로 환산한 잡음을 잡음 지수(noise figure) $F$배로 키운다. 그래서 잡음 전력은 $P_n=k_BT_0BF$이다. 8장의 레이다는 복소 샘플을 $f_s=5.12$ MHz로 받는다. 샘플링(표본화)을 복소수로 하면 샘플 하나에 들어오는 잡음의 대역폭은 $B=f_s=5.12$ MHz이다. $F=12$ dB이면 $P_n=-94.9$ dBm이다.

①은 주파수에 따른 잡음 전력 밀도이고, 가로 띠가 수신 대역, 띠의 면적이 잡음 전력이다. ②는 같은 양을 dBm 준위로 그렸고, 마지막 단계의 P_r은 앞 절의 50 m 보행자이다.

신호와 잡음의 비가 SNR(signal-to-noise ratio)이다. 실제 장치에는 이상적인 식이 넣지 않은 손실 $L_s$가 있다. 송수신 경로의 선로와 정합, 레이돔, 빔 중심에서 벗어난 표적, 대기 흡수, 처리에서 생기는 손실(윈도우(창 함수) 손실, 8장의 straddle loss)이 그것이다. 손실은 차량 레이다에 $L_s=3$ dB, 해상 레이다에 $L_s=6$ dB로 둔다. 손실까지 넣은 레이다 방정식은 다음과 같다.

50 m 보행자의 SNR은 샘플 하나에서 $-119.6-(-94.9)-3.0=-27.7$ dB이다. 에코가 잡음보다 600배쯤 작다. 그래도 레이다가 보행자를 보는 것은 샘플을 많이 모아 더하기 때문이다. 8장의 프레임은 샘플 $M=256\times64=16\,384$개이고, 거리 DFT와 Doppler DFT는 표적의 에코를 위상을 맞추어 더한다. 에코는 진폭으로 더해지고 잡음은 전력으로 더해지므로, SNR이 $10\log_{10}M=10\log_{10}16\,384=42.1$ dB 오른다. 이것을 처리 이득(processing gain)이라 한다. 처리 이득이 생기는 원리는 4장의 정합 필터와 8장의 DFT에서 다시 다룬다.