정리·개념 확인·참고 자료 · 2장 레이다 방정식과 링크 예산

정리

받는 전력은 인자 다섯 개의 곱 $P_r=P_t\cdot G_t/(4\pi R^2)\cdot\sigma\cdot1/(4\pi R^2)\cdot G_r\lambda^2/(4\pi)$ 이다. 가는 길과 오는 길에 한 번씩 퍼져 $1/R^4$ 이다.
수신 안테나가 받는 양은 유효 면적 $A_e=G\lambda^2/(4\pi)$ 이다. 이득을 고정하면 파장이 짧을수록 받는 전력이 작고, 면적을 고정하면 파장이 짧을수록 받는 전력이 크다.
잡음 전력은 $P_n=k_BT_0BF$ 이고 $k_BT_0=-174.0$ dBm/Hz이다. SNR은 $P_r$ 을 $P_n$ 과 손실 $L_s$ 로 나눈 값이고, 샘플 $M$ 개를 모은 처리 이득 $10\log_{10}M$ 이 더해진다.
dB로 바꾸면 레이다 방정식은 한 줄에 인자 하나를 더하는 링크 예산이 된다.
$R_{\text{det}}=R_\text{ref}\cdot10^{(\text{SNR}(R_\text{ref})-\text{SNR}_{\min})/40}$ 이다. 거리를 두 배로 늘리려면 12.0 dB, 곧 16배가 더 필요하다.

대역폭 $B=20$ MHz, 잡음 지수 $F=8$ dB인 수신기의 잡음 전력은 몇 dBm인가?

풀이

답 -93.0 dBm

힌트 $k_BT_0=-174.0$ dBm/Hz이다.

$P_n=k_BT_0BF=-174.0+10\log_{10}(2\times10^7)+8=-174.0+73.0+8.0=-93.0$ dBm이다.

보행자의 거리가 50 m에서 30 m로 가까워졌다. SNR은 몇 dB 커지는가?

풀이

답 8.9 dB

힌트 SNR은 $R^4$ 에 반비례한다.

$40\log_{10}(50/30)=40\times0.2218=8.9$ dB 커진다.

50 m 보행자 예제에서 송신 전력을 12 dBm에서 24 dBm으로 16배 올리면 최대 탐지 거리는 몇 m인가?

풀이

답 107.5 m

힌트 12 dB를 더 얻었다. $R_{\text{det}}$ 는 그 값의 40분의 1을 지수로 한 10의 거듭제곱 배로 늘어난다.

처음 $R_{\text{det}}=53.9$ m이다. $10^{12/40}=1.995$ 배이므로 $53.9\times1.995=107.5$ m이다. 송신 전력 16배로 거리가 거의 두 배가 된다. 정확히 두 배는 $40\log_{10}2=12.04$ dB이다.

같은 이득 12 dBi의 안테나를 쓰는 레이다를 10 GHz에서 77 GHz로 바꾸었다. 다른 조건이 같을 때 받는 전력은 어떻게 되는가?

풀이

답 (나) 약 17.7 dB 작아진다. 유효 면적 $G\lambda^2/(4\pi)$ 가 파장의 제곱에 비례해 줄기 때문이다.

$P_r\propto\lambda^2$ 이고 $20\log_{10}(77/10)=17.7$ dB이다. 같은 이득이면 77 GHz 안테나의 유효 면적은 19.1 mm²로, 10 GHz의 1134 mm²보다 59배 작다.

M. A. Richards, Fundamentals of Radar Signal Processing, 2nd ed. New York, NY, USA: McGraw-Hill Education, 2014, ISBN 978-0-07-179832-7. 2장(신호 모델: 레이다 거리 방정식, 잡음과 SNR).
M. I. Skolnik, Introduction to Radar Systems, 3rd ed. New York, NY, USA: McGraw-Hill, 2001, ISBN 978-0-07-288138-7. 2장(레이다 방정식).
R. M. O'Donnell, Introduction to Radar Systems, MIT Lincoln Laboratory, MIT OpenCourseWare RES.LL-001, Spring 2007, 2강(레이다 방정식). https://ocw.mit.edu/courses/res-ll-001-introduction-to-radar-systems-spring-2007/
W. J. Albersheim, "A closed-form approximation to Robertson's detection characteristics," Proc. IEEE, vol. 69, no. 7, p. 839, Jul. 1981, doi: 10.1109/PROC.1981.12082. 필요한 SNR의 근사식.
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신호 및 시스템 7장 이산시간 시스템의 푸리에 해석. DFT와 샘플링.