부피와 대칭

파형을 잘 고르면 모호 함수를 원하는 대로 만들 수 있는가? 그럴 수 없게 하는 성질이 두 가지 있다.

• 피크는 원점에 있다. $|\chi(\tau,f_D)|\le|\chi(0,0)|=1$이다. 이 부등식은 Cauchy–Schwarz 부등식에서 나오며, 4장에서 정합 필터를 유도한 근거와 같다.
• 부피가 정해져 있다. 펄스 에너지를 1로 나누면, 어떤 파형이든 다음이 성립한다.

• 원점에 대해 대칭이다. $|\chi(-\tau,-f_D)|=|\chi(\tau,f_D)|$이다.

부피가 1로 고정되어 있으므로, 원점의 피크를 좁히면 그 부피가 다른 곳으로 옮겨 갈 뿐 사라지지 않는다. 이상적인 모호 함수는 원점에만 날카로운 피크가 서고 나머지가 0인 thumbtack 모양이지만, 부피를 지키려면 피크 바깥에 낮은 바닥이 넓게 깔린다. 따라서 파형을 고르는 일은 이 부피를 어디에 둘지 고르는 일이다.