빔으로 훑기: Bartlett와 Capon

공분산 행렬로 방향마다 들어오는 세기를 어떻게 셈하는가? 10장의 빔 $w=\mathbf a(\theta)/N$을 스냅숏마다 곱하고 출력 전력을 평균하면 다음 식이 된다. 이것을 Bartlett 스펙트럼(또는 빔포머 스펙트럼)이라 한다.

빔 하나의 응답을 방향마다 잰 것이므로 분해능이 빔폭에 묶인다. 안테나 8개의 빔은 첫 영점이 14.48°이고, 이보다 가까운 두 신호는 피크 하나로 합쳐진다.

Capon 방법은 가중치를 데이터에 맞추어 고른다. 곧 방향 $\theta$의 이득을 1로 지키면서 출력 전력 $\mathbf w^{\mathsf H}\hat{\mathbf R}\mathbf w$를 가장 작게 하는 가중치를 찾는다. 이런 빔포머를 MVDR(minimum variance distortionless response)이라 한다. 라그랑주 승수로 풀면 $\mathbf w=\hat{\mathbf R}^{-1}\mathbf a/(\mathbf a^{\mathsf H}\hat{\mathbf R}^{-1}\mathbf a)$이고, 그 출력 전력이 Capon 스펙트럼이다.

Capon 빔은 다른 방향에서 오는 신호 쪽으로 영점을 옮겨 그 신호를 지운다. 그래서 다른 신호의 사이드로브가 섞이지 않고, 피크가 Bartlett보다 좁다.

두 스펙트럼은 보는 방향 $\theta_l$을 하나씩 정해 그 방향의 가중치로 출력 전력 $\mathbf w^{\mathsf H}\hat{\mathbf R}\mathbf w$를 잰 값을 이어 그린 것이다. 그림에서 ▶를 누를 때마다 보는 방향이 1°씩 옮겨 가고, ①에는 그 방향을 보는 두 빔이, ②에는 두 빔의 출력 전력이 한 점씩 그려진다.

세기가 같은 두 신호를 정면 양쪽에 놓고 같은 스냅숏으로 계산했다. ①은 보는 방향의 두 가중치가 만드는 빔 |w^Ha(θ)|²이고, ②의 각 곡선은 자기 피크를 0 dB로 두었으며 세로 점선이 실제 방향이다.

두 신호가 10° 떨어져 있을 때 한가운데 0°를 보면, Bartlett 빔은 −5°와 5°의 이득이 모두 −1.8 dB라 두 신호를 거의 그대로 받고, 출력이 자기 피크에 가깝다. 그래서 Bartlett 스펙트럼은 0° 근처에 피크 하나만 세운다. Capon 빔은 0°의 이득 1을 지키면서 −5°와 5°의 이득을 −9.3 dB와 −16.1 dB로 낮추므로, 출력이 자기 피크보다 5.0 dB 낮다. 이 골이 Capon 스펙트럼의 두 피크를 가른다. 보는 방향을 끝까지 쓸면 다음 절의 MUSIC 스펙트럼도 함께 그려진다.