정리·개념 확인·참고 자료 · 12장 도래각 추정

정리

스냅숏 $N_{\text{snap}}$ 개로 공분산 $\hat{\mathbf R}=\frac{1}{N_{\text{snap}}}\sum\mathbf x_q\mathbf x_q^{\mathsf H}$ 를 추정한다. 무관한 신호 $D$ 개이면 고윳값이 큰 것 $D$ 개와 잡음 전력 근처의 $N-D$ 개로 갈린다.
Bartlett 스펙트럼은 빔을 훑은 것이라 분해능이 빔폭에 묶인다. Capon은 방향 이득을 1로 지키며 출력 전력을 줄이는 가중치로 다른 신호를 지워 피크를 좁힌다.
MUSIC은 실제 방향의 스티어링 벡터가 잡음 부공간과 수직이라는 사실로 의사 스펙트럼을 만든다. 신호 수 $D$ 를 알아야 한다.
ESPRIT은 안테나 하나만큼 밀린 두 부배열의 회전 $e^{j\pi\sin\theta}$ 를 $\boldsymbol\Psi$ 의 고윳값으로 구해, 훑지 않고 각을 구한다.
두 신호를 가르는 각 차이는 방법, 안테나 수, SNR, 스냅숏 수가 함께 정한다. 한 번의 계산이 아니라 여러 번의 비율로 판단한다.
코히어런트 신호는 신호 고윳값을 하나로 줄인다. 공간 평활은 부배열의 공분산을 평균해 계수를 되살리고, 그만큼 배열을 짧게 쓴다.

간격 $d=\lambda/2$ 인 안테나 16개의 빔은 정면에서 첫 영점이 몇 도에 서는가?

풀이

답 7.18 °

힌트 첫 영점은 $\sin\theta=\lambda/(Nd)$ 이다.

$\sin\theta=2/16=0.125$ 이고 $\theta=7.18°$ 이다. 안테나 8개이면 $\sin\theta=0.25$ , $14.48°$ 이다.

안테나 8개, 스냅숏 5개로 만든 공분산 행렬 $\hat{\mathbf R}$ 의 고윳값 가운데 0이 아닌 것은 최대 몇 개인가?

풀이

답 5

힌트 $\mathbf x_q\mathbf x_q^{\mathsf H}$ 하나는 계수가 1이다.

계수 1인 행렬 5개를 더했으므로 계수가 5를 넘지 못한다. 스냅숏 수가 안테나 수보다 적으면 $\hat{\mathbf R}^{-1}$ 이 없어 Capon을 그대로 쓸 수 없다.

안테나 8개로 두 신호를 MUSIC으로 보았더니 실제로 신호가 없는 방향에 피크가 하나 더 섰다. 가장 먼저 의심할 것은?

풀이

답 (나) 신호 수 $D$ 를 실제보다 크게 정했다.

$D=3$ 으로 정하면 고윳값이 작은 잡음 고유벡터 하나가 신호 쪽으로 넘어가, 그 벡터와 수직이 아닌 방향이 생긴다. MUSIC 절의 예에서는 −29.6°에 가짜 피크가 섰다.

ESPRIT으로 구한 $\boldsymbol\Psi$ 의 고윳값이 $e^{j54°}$ 였다( $d=\lambda/2$ ). 이 신호의 도래각은 몇 도인가?

풀이

답 17.46 °

힌트 고윳값은 $e^{j\pi\sin\theta}$ 이다.

$\pi\sin\theta=54°$ 이므로 $\sin\theta=54/180=0.3$ , $\theta=17.46°$ 이다.

M. A. Richards, Fundamentals of Radar Signal Processing, 2nd ed. New York, NY, USA: McGraw-Hill Education, 2014, ISBN 978-0-07-179832-7. 9장(빔포밍과 space-time adaptive processing 입문).
H. L. Van Trees, Optimum Array Processing: Part IV of Detection, Estimation, and Modulation Theory. New York, NY, USA: Wiley, 2002, doi: 10.1002/0471221104. 6장(MVDR), 9장(MUSIC, ESPRIT, 공간 평활).
J. Capon, "High-resolution frequency-wavenumber spectrum analysis," Proc. IEEE, vol. 57, no. 8, pp. 1408–1418, Aug. 1969, doi: 10.1109/PROC.1969.7278.
R. O. Schmidt, "Multiple emitter location and signal parameter estimation," IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 34, no. 3, pp. 276–280, Mar. 1986, doi: 10.1109/TAP.1986.1143830.
R. Roy and T. Kailath, "ESPRIT-estimation of signal parameters via rotational invariance techniques," IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Process., vol. 37, no. 7, pp. 984–995, Jul. 1989, doi: 10.1109/29.32276.
T.-J. Shan, M. Wax, and T. Kailath, "On spatial smoothing for direction-of-arrival estimation of coherent signals," IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Process., vol. 33, no. 4, pp. 806–811, Aug. 1985, doi: 10.1109/TASSP.1985.1164649.
H. Krim and M. Viberg, "Two decades of array signal processing research: The parametric approach," IEEE Signal Process. Mag., vol. 13, no. 4, pp. 67–94, Jul. 1996, doi: 10.1109/79.526899.