코히어런트 신호와 공간 평활

두 신호가 같은 파형이면 무엇이 달라지는가? 한 표적의 에코가 곧바로 오고 땅이나 벽에 반사되어 다른 방향에서도 오면, 두 신호는 한 파형에 복소 상수 하나를 곱한 관계가 된다. 이런 두 신호를 코히어런트 신호라 한다. 이때 신호 부분은 $s_q(\mathbf a(\theta_1)+\alpha\,\mathbf a(\theta_2))$ 하나의 벡터 방향에만 놓이므로, 공분산 행렬의 신호 고윳값이 하나뿐이다. MUSIC과 ESPRIT은 신호 부공간이 두 스티어링 벡터를 다 품는다고 가정하므로 틀린 각을 낸다.

공간 평활(spatial smoothing)은 배열을 안테나 하나씩 밀린 길이 $M$의 부배열 $L=N-M+1$개로 나누고, 그 공분산들을 평균한다. 부배열마다 두 신호의 위상 관계가 다르므로, 평균하면 두 신호가 다시 무관한 것처럼 보이고 신호 고윳값이 둘로 돌아온다. 대신 배열의 길이가 안테나 $M$개로 짧아진다. 신호 $D$개를 가르려면 $L\ge D$이고 $M>D$여야 한다.

부배열 $l$은 안테나 $l$개만큼 밀려 있으므로, 그 안에서 반사파의 위상은 직접파보다 $60°+180°\times l\times(\sin15°-\sin(-10°))=60°+77.8°\,l$ 앞선다. 그림에서 ▶를 누를 때마다 부배열 하나의 상대 위상이 바늘로 그려지고, 그 부배열의 공분산이 평균에 더해져 고윳값과 MUSIC 스펙트럼이 다시 그려진다.

같은 파형이 −10°에서 곧바로, 15°에서 위상이 60° 다르게 반사되어 안테나 8개에 들어온다(SNR 20 dB, 스냅숏 64개). 붉은 막대가 잡음보다 10 dB 넘게 큰 고윳값이다.

부배열 하나(길이 5)만 쓰면 둘째 고윳값이 1.0 dB로 잡음과 같다. 상대 위상이 60°, 138°, −144°, −66°로 다른 부배열을 더해 갈수록 둘째 고윳값이 20.5 dB, 24.4 dB, 26.6 dB로 올라오고, 부배열 둘을 평균한 때부터 MUSIC이 두 신호를 가른다.