REMI Lab강의 노트

Radar Signal Processing R12

12장 도래각 추정

MUSIC: 신호 부공간과 잡음 부공간

고윳값이 신호와 잡음으로 갈린다는 사실을 어떻게 쓰는가? R^\hat{\mathbf R}의 고유벡터 가운데 큰 고윳값 DD개에 해당하는 고유벡터가 펼치는 공간을 신호 부공간, 나머지 N−DN-D개가 펼치는 공간을 잡음 부공간이라 한다. 고유벡터끼리는 서로 수직이므로, 신호의 스티어링 벡터 a(θi)\mathbf a(\theta_i)가 놓인 신호 부공간은 잡음 부공간과 수직이다. 잡음 부공간의 고유벡터를 열로 모은 행렬을 En\mathbf E_n이라 하면, 실제 방향에서 EnHa(θi)=0\mathbf E_n^{\mathsf H}\mathbf a(\theta_i)=0이다.

MUSIC(multiple signal classification)은 이 수직 관계를 방향마다 잰다. a(θ)\mathbf a(\theta)를 잡음 부공간에 투영한 크기가 0에 가까운 방향이 신호의 방향이므로, 그 역수를 그리면 실제 방향에 날카로운 피크가 선다.

PMUSIC(θ)=1a(θ)HEnEnHa(θ)P_{\mathrm{MUSIC}}(\theta)=\frac{1}{\mathbf a(\theta)^{\mathsf H}\mathbf E_n\mathbf E_n^{\mathsf H}\mathbf a(\theta)}

이 값은 전력이 아니다. 피크 높이는 신호 세기가 아니라 수직에 얼마나 가까운지를 나타내므로, 이 값을 의사 스펙트럼(pseudo-spectrum)이라 한다.

안테나 8개, −5°와 10°의 두 신호, 안테나마다 SNR 5 dB, 스냅숏 64개로 만든 R̂ 하나이다. 붉은 막대가 신호 부공간으로 고른 고윳값이다.

고윳값이 14.9 dB와 13.4 dB 다음에 1.3 dB로 뚝 떨어지므로, 이 간격을 보고 D=2D=2로 정한다. MUSIC은 DD를 알아야 쓸 수 있고, DD를 잘못 정하면 결과가 크게 바뀐다.

해 보기

  1. a(θ)\mathbf a(\theta)를 잡음 부공간에 투영한 크기가 어느 방향에서 0으로 떨어지는지 보고, MUSIC 피크가 서는 각을 확인하라.
    관찰

    투영이 −5°와 10° 근처에서 0으로 떨어지고, MUSIC 피크가 −5.2°-5.2°와 10.0°10.0°에 선다. 빔의 첫 영점 14.48°보다 가까운 두 신호를 가른다.

  2. 신호 수를 1로 잘못 정하면 MUSIC 피크가 어떻게 되는지 확인하라.
    관찰

    둘째 신호의 고유벡터가 잡음 부공간에 들어가 그 방향이 잡음과 수직이 아니게 된다. 피크가 11.2° 하나뿐이다.

  3. 신호 수를 3으로 잘못 정하면 MUSIC 피크가 어떻게 되는지 확인하라.
    관찰

    잡음 고유벡터 하나가 신호 부공간으로 넘어가, 실제 신호가 없는 −29.6°에도 피크가 생긴다.