ESPRIT: 훑지 않고 각 읽기

방향마다 훑지 않고 각을 곧바로 구할 수 있는가? 균일 선형 배열은 안테나 $0,\dots,N-2$와 $1,\dots,N-1$의 두 부배열로 나눌 수 있다. 두 번째 부배열은 첫 번째를 안테나 하나만큼 민 것이고, 방향 $\theta$의 스티어링 벡터는 안테나 하나만큼 밀면 $e^{j\pi\sin\theta}$만큼 돈다.

신호 부공간의 고유벡터 $\mathbf E_s$도 같은 두 부분 $\mathbf E_1$, $\mathbf E_2$로 나누면, 두 부분은 $D\times D$ 행렬 $\boldsymbol\Psi$ 하나로 이어진다($\mathbf E_2=\mathbf E_1\boldsymbol\Psi$). $\boldsymbol\Psi$의 고윳값이 $e^{j\pi\sin\theta_i}$이다. 최소제곱으로 $\boldsymbol\Psi=(\mathbf E_1^{\mathsf H}\mathbf E_1)^{-1}\mathbf E_1^{\mathsf H}\mathbf E_2$를 구하고 그 고윳값의 각에서 $\theta_i$를 구한다. 이 방법을 ESPRIT(estimation of signal parameters via rotational invariance techniques)이라 한다. 각을 훑지 않으므로 계산이 가볍고, 추정값이 각도 격자에 묶이지 않는다.

MUSIC 그림과 같은 R̂(−5°와 10°, 안테나마다 SNR 5 dB, 스냅숏 64개)이고, ①의 초록 상자는 안테나 0…6, 점선 상자는 1…7의 부배열이다. ②의 속 빈 원은 실제 e^{jπ sin θ}, 붉은 점은 R̂에서 구한 Ψ의 고윳값이다.