α와 CFAR loss

같은 $P_{FA}$를 지키려면 $\alpha$를 얼마로 두어야 하는가? 참조 셀이 모두 같은 배경 $P_0$의 잡음이면 $y_{\mathrm{CUT}}$는 평균 $P_0$의 지수 분포이다. $\hat P$가 주어졌을 때 false alarm 확률은 $e^{-\alpha\hat P/P_0}$이다. $N\hat P/P_0$는 지수 분포 $N$개의 합이라 감마 분포를 따르고, 이 감마 분포로 평균을 내면 $P_0$가 사라진다.

$P_{FA}$가 배경 전력 $P_0$와 무관하므로 배경이 바뀌어도 false alarm 확률이 일정하다. 이것이 CFAR의 뜻이다. 참조 셀 16개, $P_{FA}=10^{-3}$이면 $\alpha=16(10^{3/16}-1)=8.64$, 곧 9.36 dB이다. 배경을 알 때의 임계값 6.91(8.39 dB)보다 0.97 dB 높다. 추정이 흔들리는 만큼 임계값을 넉넉히 둔 것이다. $N$이 커지면 $\alpha$는 $-\ln P_{FA}$로 다가간다.

그림에서 ▶를 누를 때마다 참조 셀 $N$개를 뽑고, 그 평균 $\hat P$를 구하고, 같은 일을 2000번 되풀이해 $\hat P$의 분포를 쌓는다. 마지막 두 단계는 이 분포 위에서 $-\ln P_{FA}$와 CA-CFAR의 $\alpha$가 내는 false alarm 확률을 셈한다.

잡음만 든 참조 셀(P₀ = 1), P_FA = 10⁻³이다. ①의 점선은 P₀, 청록 선은 P̂, 붉은 선은 임계값이고, ②의 붉은 막대는 P̂ < 1인 시행이다.

참조 셀 16개이면 $\hat P$의 표준편차가 0.244로, 시행의 54 %에서 $\hat P$가 $P_0$보다 작게 나온다. 배경을 알 때의 계수 $\alpha_0=6.91$을 그대로 쓰면, $\hat P$가 작은 시행에서 임계값이 낮아져 false alarm이 잦다. 2000번의 평균이 $3.13\times10^{-3}$이고(닫힌 형태 $(1+\alpha_0/N)^{-N}=3.21\times10^{-3}$), 그 95 %가 $\hat P<1$인 시행에서 나온다. $\alpha$를 8.64로 올리면 평균이 $9.77\times10^{-4}$로 $P_{FA}$에 맞는다. 참조 셀이 4개이면 $\hat P$의 표준편차가 0.50으로 커지고, $\alpha_0$의 false alarm 확률이 닫힌 형태로 $1.81\times10^{-2}$까지 올라 $\alpha$를 18.49로 올려야 한다.

임계값이 높아진 만큼 같은 $P_D$를 얻으려면 표적이 더 세야 한다. 그 SNR 차이를 CFAR loss라 한다. $P_{FA}=10^{-3}$에서 참조 셀 16개이면 0.97 dB, 8개이면 2.01 dB, 32개이면 0.48 dB이다. $P_{FA}=10^{-6}$이면 손실이 커져 16개에서 2.01 dB이다. 참조 셀을 늘리면 손실이 줄지만, 참조 셀 윈도우가 넓어져 배경이 고르다는 가정이 깨지기 쉽다.