관측 시간과 chirp 반복 주파수의 한계

기록은 얼마나 길게, chirp는 얼마나 자주 보내야 하는가? 두 가지 한계가 있다.

첫째는 주파수 분해능이다. 길이 $T_{\mathrm{obs}}$의 기록을 DFT 하면 주파수 bin 간격이 $\Delta f=1/T_{\mathrm{obs}}$, 분당 횟수로는 $60/T_{\mathrm{obs}}$이다. 박동수를 분당 1회의 차이로 가르려면 60 s 동안 박동수가 변하지 않아야 한다. 제로 패딩으로 DFT를 길게 하면 피크의 자리를 bin 사이까지 정할 수 있지만, 피크의 폭은 그대로라 가까운 두 박동수를 가르는 힘은 늘지 않는다.

둘째는 chirp 반복 주파수 $f_r$이다. 위상을 펼치려면 이웃한 chirp 사이의 움직임이 $\lambda/4$보다 작아 위상 차가 $\pi$를 넘지 않아야 한다. 피크 사이 $R_{pp}$, 주파수 $f_x$의 사인 움직임은 가장 빠를 때 1초에 $\pi R_{pp}f_x$를 움직이므로 다음 조건이 나온다.

모의 신호의 호흡(피크 사이 8 mm, 0.25 Hz)이면 77 GHz에서 chirp를 1초에 6.46개보다 많이 보내야 한다. 파장이 짧을수록, 움직임이 크고 빠를수록 chirp를 자주 보내야 한다.

그림에서 ▶를 누를 때마다 한계 하나의 원인과 결과가 차례로 그려진다. ①의 붉은 구간이 분석하는 기록이고 ②가 그 구간의 스펙트럼이며, ③의 점이 남긴 chirp의 감긴 위상이고 ④가 그 점들로 펼친 변위이다.

②는 Hann 윈도우로 구한 심박 대역 스펙트럼이고 붉은 막대가 −6 dB 폭이다. ③의 회색 점은 1초에 20개인 모든 chirp, 청록 점은 남긴 chirp이고, 붉은 선은 이웃한 두 chirp 사이의 실제 위상 변화가 π를 넘는 자리이다.