상호상관으로 보는 정합 필터

정합 필터는 실제로 무엇을 계산하는가? 받은 신호를 샘플링(표본화)해 샘플로 쓰면, 정합 필터는 받은 샘플 $r[n]$ 위에 보낸 펄스의 replica(기준 신호) $s[n]$을 샘플 $k$개만큼 밀어 대고, 겹친 샘플끼리 곱해 더한다.

replica가 에코와 정확히 겹치는 $k$에서 곱이 모두 같은 부호로 더해져 피크가 생긴다. 다른 $k$에서는 잡음과의 곱이 양과 음으로 섞여 서로 지운다.

받은 샘플은 길이 8, 진폭 A인 사각 펄스를 n = 19부터 넣고 분산 1의 가우스 잡음(고정한 난수)을 더한 것이다. 수는 소수 둘째 자리까지 적었고, y[k]는 적은 곱을 더한 값이다.

진폭 $A=1$이면 샘플마다의 SNR은 0 dB이라 ①에서 에코를 눈으로 찾기 어렵다. $k=19$에서 replica가 에코에 겹치면 여덟 곱이 모두 양수이고, 합은 $y[19]=11.6$이다. 잡음이 없다면 $E=A^2L=8$이었을 값이다. 그 밖의 $k$에서 $y[k]$는 3.22를 넘지 않는다. 피크의 신호 성분은 $AL$이고 잡음의 출력 분산은 $\sigma_n^2\sum s^2=L\sigma_n^2$이므로, 피크의 SNR은 $(AL)^2/(L\sigma_n^2)=A^2L/\sigma_n^2=E/\sigma_n^2=8$, 곧 9.0 dB이다. 샘플 여덟 개의 에너지를 모아 SNR이 8배가 되었다. 앞 절의 $2E/N_0$과 같은 식이다. 실수 샘플 하나의 잡음 분산은 $\sigma_n^2=N_0/2$이라 $2E/N_0=E/\sigma_n^2$이고, 복소 샘플은 $\sigma_n^2=N_0$이라 피크 SNR이 $E/N_0=E/\sigma_n^2$이다.