REMI Lab강의 노트

Radar Signal Processing R04

4장 펄스와 정합 필터

SNR을 가장 크게 하는 정합 필터

에코가 잡음에 묻혀 있으면 어떤 필터를 통과시켜야 가장 잘 보이는가? 받은 신호를 x(t)=s(t)+n(t)x(t)=s(t)+n(t)라 하자. s(t)s(t)는 모양을 아는 에코이고, n(t)n(t)는 양측 전력 스펙트럼 밀도가 N0/2N_0/2인 백색 잡음이다. 임펄스 응답이 h(t)h(t)인 필터를 통과시킨 뒤 시각 t0t_0에서 출력을 본다. 신호 성분과 잡음 전력은 다음과 같다.

ys(t0)=∫h(u) s(t0−u) du,∣yn∣2‾=N02∫∣h(u)∣2 duy_s(t_0)=\int h(u)\,s(t_0-u)\,du,\qquad \overline{|y_n|^2}=\frac{N_0}{2}\int|h(u)|^2\,du

Cauchy–Schwarz 부등식 ∣∫fg du∣2≤∫∣f∣2du∫∣g∣2du\left|\int f g\,du\right|^2\le\int|f|^2du\int|g|^2du를 f=h(u)f=h(u), g=s(t0−u)g=s(t_0-u)에 쓰면 출력 SNR의 상한이 나온다.

SNR=∣ys(t0)∣2∣yn∣2‾≤∫∣s∣2 duN0/2=2EN0\text{SNR}=\frac{|y_s(t_0)|^2}{\overline{|y_n|^2}}\le\frac{\int|s|^2\,du}{N_0/2}=\frac{2E}{N_0}

등호는 h(u)h(u)가 s(t0−u)s(t_0-u)의 켤레에 비례할 때 성립한다. 이 필터가 정합 필터(matched filter)이다.

h(t)=s∗(t0−t)h(t)=s^*(t_0-t)

정합 필터의 임펄스 응답은 에코를 시간에서 뒤집고 켤레를 취한 것이다. 이 필터와의 컨볼루션은 받은 신호와 ss의 상호상관이 된다(신호 및 시스템 3장의 컨볼루션). 1장에서 레이다는 받은 신호를 보낸 신호와 비교한다고 했는데, 정합 필터는 그 비교를 잡음 속에서 가장 잘 하는 방법이다.