거리: fast-time 축의 DFT

chirp 하나의 샘플에서 거리를 어떻게 읽는가? 열 하나에는 beat 하나가 들어 있다. 표적이 정지해 있으면 그 주파수는 $f_b=2KR/c$이다. 열 하나를 $N_s$점 DFT 하면 피크가 서는 bin $k_r$이 $f_b$를 알려 준다. DFT의 bin $k$는 주파수 $k f_s/N_s$에 해당하므로(신호 및 시스템 7장), 피크는 다음 bin에 선다.

예제에서 range bin 하나는 $c f_s/(2KN_s)=0.4997$ m이다. 20 m에 정지한 표적은 $f_b=800.6$ kHz, $k_r=40.03$이라 bin 40에 피크가 서고, 이 bin은 거리 $40\times0.4997=19.99$ m에 해당한다.

거리 분해능

두 표적의 거리가 $\delta R$만큼 다르면 beat는 $2K\delta R/c$만큼 다르다. chirp 하나를 $T_c$ 동안 관측했으므로, DFT가 가를 수 있는 가장 작은 주파수 차이는 $1/T_c$이다. 두 조건을 같게 두면 다음 식이 나온다.

예제는 $\Delta R=0.4997$ m이다. 이 식은 샘플이 chirp 전체를 덮는다고 놓고 쓴 것이다. 실제로 분해능을 정하는 것은 샘플을 받는 동안 송신 주파수가 쓸고 지나간 대역폭 $KN_s/f_s$이고, 거리 분해능은 $c/(2KN_s/f_s)$이다. 예제는 $N_s/f_s=256/5.12\text{ MHz}=50\,\mu\text{s}=T_c$라서 이 대역폭이 $B=300$ MHz와 같고, range bin 간격과 $\Delta R$도 같다. 샘플이 chirp의 일부만 덮으면 분해능이 나빠진다. 예를 들어 앞쪽 25 µs만 받으면 쓸린 대역폭이 150 MHz로 줄어 분해능이 1.0 m가 된다. $f_s$를 올려도 같은 시간 동안 받으면 분해능은 그대로이다.

최대 거리

복소 샘플은 $0\le f_b<f_s$의 beat를 구별한다. 더 먼 표적의 beat는 $f_s$를 넘어 aliasing으로 가까운 거리에 나타난다. 그래서 잴 수 있는 가장 먼 거리는 샘플링 주파수가 정한다.

예제는 $R_{\max}=127.9$ m이다. 실제 장치는 그보다 먼 반사를 아날로그 필터로 줄여 aliasing을 막는다.

예제 레이다(K = 6 MHz/µs, f_s = 5.12 MHz, N_s = 256)로 정지 표적의 chirp 하나를 계산했고, 크기는 진폭 1인 표적이 bin에 맞을 때 1이다. ①은 샘플, ②는 256점 DFT의 크기를 거리 축에 그린 것, ③은 표적 주변을 확대해 DFT bin(점)과 bin 사이까지 계산한 응답(곡선)을 함께 그린 것이다.

③에서 DFT bin의 값은 bin 사이까지 계산한 응답 곡선 위에 놓인다.