최대 속도와 aliasing

잴 수 있는 가장 빠른 속도는 무엇이 정하는가? 위상은 $2\pi$의 정수배를 더해도 같은 값이다. 그래서 chirp마다 도는 각 $\Delta\phi$는 $-\pi<\Delta\phi\le\pi$ 안에서만 구별된다. $|\Delta\phi|=\pi$가 되는 속도가 최대 속도이다.

예제는 $v_{\max}=19.47$ m/s이다. 25 m/s로 다가오는 차는 $\Delta\phi=-231.2°$인데, 이 각은 $+128.8°$와 같은 자리이다. 레이다는 $+128.8°$로 읽고 $v_r=-13.93$ m/s, 곧 멀어지는 차로 본다. 실제 속도에서 $2v_{\max}$를 뺀 값이다. 신호 및 시스템 7장에서 샘플링이 높은 주파수를 낮은 주파수로 접던 것과 같다. 아래 그림 ①에서 실제 회전과 샘플로 읽을 수 있는 회전은 같은 바늘에서 끝난다.

예제 레이다(T_c = 50 µs, v_max = 19.47 m/s)에서 chirp 0과 chirp 1 사이의 위상을 그렸고, ①의 붉은 호는 실제 회전 Δφ(한 바퀴를 넘으면 나선), 검은 호는 샘플만 보고 읽을 수 있는 −180°…180°의 회전이다. ②는 실제 속도에 따라 레이다가 읽은 속도, ③은 20 m 표적의 range bin 값 64개를 DFT 한 결과이다.

$T_c$를 줄이면 $v_{\max}$가 커진다. 그러나 같은 $B$와 $f_s$에서 기울기 $K=B/T_c$가 커지므로 $R_{\max}=cf_s/(2K)=cf_sT_c/(2B)$가 줄어든다. $T_c=25$ µs이면 $v_{\max}=38.93$ m/s이지만 $R_{\max}=63.96$ m이다. 최대 거리를 지키려면 $f_s$를 두 배로 올려야 한다.

펄스 레이다도 같은 제약을 받는다. 펄스 반복 간격이 $T_r$이면 모호하지 않은 거리는 $R_u=cT_r/2$, 속도는 $v_{\max}=\lambda/(4T_r)$이고, 둘의 곱은 $R_uv_{\max}=c\lambda/8$로 $T_r$과 무관하다. 77 GHz에서 $T_r=50$ µs이면 $R_u=7.49$ km, $v_{\max}=19.47$ m/s이다. 하나를 키우면 다른 하나가 준다. 그래서 반복 주파수가 다른 펄스열 몇 개를 번갈아 보내고, 각 반복 주파수에서 aliasing된 값들을 중국인의 나머지 정리로 맞추어 실제 거리나 속도를 찾는다.