속도: slow-time 축의 위상

같은 range bin의 값은 chirp마다 어떻게 바뀌는가? 표적이 움직이면 chirp마다 거리가 조금씩 달라진다. 표적 A는 chirp 하나 동안 $v_rT_c=0.25$ mm 다가온다. range bin 하나가 0.5 m이므로 피크는 프레임 내내 같은 bin에 머문다. 그 대신 그 bin 값의 위상이 돈다.

chirp $m$의 왕복 시간은 $\tau_m=2(R-v_r mT_c)/c$이고, IF 신호의 위상에는 $2\pi f_c\tau_m$이 들어 있다. 이 항은 chirp마다 다음만큼 바뀐다.

$f_c$가 77 GHz로 크므로 0.25 mm만 움직여도 위상은 크게 돈다. 표적 A는 chirp마다 $\Delta\phi=-46.2°$, 표적 B는 $+13.9°$이다. IF를 송신 × 수신의 켤레로 정했으므로, 다가오는 표적의 위상은 줄어들고, 복소평면에서 시계 방향으로 돈다.

그래서 range bin $k_r$의 값을 chirp마다 꺼내 늘어놓으면 회전 하나가 된다. 샘플마다 $\Delta\phi$씩 도는 수열이므로, 신호 및 시스템 7장의 이산시간 정현파 $e^{j\Omega m}$과 같고 $\Omega=\Delta\phi$이다. 이 수열을 $N_c$점 DFT 하면 피크가 $k_d=\Delta\phi N_c/(2\pi)$에 선다. Doppler bin을 속도로 바꾸는 식은 다음과 같다.

음수 부호는 다가오는 표적의 속도를 양수로 두기 위한 것이다. Doppler bin 하나는 $\Delta v=\lambda/(2N_cT_c)=0.608$ m/s이다. 이 속도 분해능은 프레임 길이 $N_cT_c=3.2$ ms가 정한다. 관측 시간이 길수록 DFT의 bin이 촘촘해지는 것과 같은 이유이다.

20 m 표적의 range bin 값(거리 DFT를 N_s로 나눈 값)을 chirp마다 꺼내, ①은 chirp m−1과 m의 값과 그 사이의 회전, ②는 지금까지의 값을 chirp마다 시계 하나로, ③은 같은 값의 Re와 Im을, ④는 지금까지 모은 값으로 계산한 slow-time 스펙트럼을 그렸다(64개를 다 모으면 64점 DFT의 bin이 점으로 나타난다). 속도 축은 v_r = −λΔφ/(4πT_c)로 환산해 다가오는 표적이 양수이고, 식의 Δφ는 공식으로 계산한 값, 그 아래 줄은 그림의 두 값에서 잰 각이다.

움직임은 beat 주파수도 조금 바꾼다. 송신 × 수신의 켤레로 만든 IF에서는 Doppler 주파수 $f_D=2v_r/\lambda$만큼 beat가 낮아진다($f_b=2KR/c-f_D$). 표적 A는 $f_D=2568$ Hz이고, 이를 거리로 환산하면 $f_D\,c/(2K)=0.064$ m이다. range bin 간격 0.4997 m의 8분의 1쯤이라 피크는 같은 bin에 남는다. 이 작은 어긋남을 range-Doppler coupling이라 한다. 7장 「움직이는 표적의 beat」에서 chirp 하나의 beat로 처음 본 것과 같은 어긋남을 여기서는 range bin 단위로 다시 본다. 합성한 프레임에서 chirp 하나의 거리 피크를 bin 사이까지 찾아 보면, 정지한 A는 bin 40.03, 움직이는 A는 bin 39.90에 서므로 움직이는 A가 0.064 m 가깝게 보인다. 공식의 값과 샘플에서 잰 값이 같다.