Wigner–Ville 분포와 교차항

윈도우의 트레이드오프를 피할 수 있는가? Wigner–Ville 분포(Wigner–Ville distribution, WVD)는 윈도우를 쓰지 않는다. 신호를 시각 $t$에서 앞뒤로 접어 곱한 순시 자기상관을 만들고, 그것을 푸리에 변환한다.

chirp 하나 $x(t)=e^{j2\pi(f_0t+\frac12Kt^2)}$를 넣으면 곱 $x(t+\tau/2)x^*(t-\tau/2)=e^{j2\pi(f_0+Kt)\tau}$가 순시 주파수 $f_0+Kt$의 정현파이다. 그래서 $W$는 그 직선 위에만 값을 가지고, STFT처럼 윈도우 길이에 따라 번지지 않는다.

대가는 교차항이다. 곱 $x\cdot x^*$에는 두 성분끼리의 곱도 들어 있어, 성분 둘의 시간-주파수 가운데에 진동하는 교차항이 생긴다. 이 교차항은 음수 값도 가진다. 성분이 많은 실제 레이다 신호에서는 교차항이 진짜 성분과 섞여 구별하기 어려우므로, 시간이나 주파수 방향으로 매끄럽게 하는 변형(pseudo-WVD, Choi–Williams 등)을 쓴다.

샘플링 주파수 1 kHz, 256샘플의 신호로, 두 톤 80 Hz와 180 Hz가 64–192 ms에만 있다. ①의 붉은 띠는 순시 자기상관 r[m]에 들어가는 샘플의 범위이고, 이산 WVD는 지연이 2m이라 주파수 축이 ±f_s/4까지이다.