분수 푸리에 변환: 평면을 돌리기

시간 축과 주파수 축 사이의 방향으로도 신호를 볼 수 있는가? 푸리에 변환은 신호를 시간 축에서 주파수 축으로 옮긴다. 시간-주파수 평면에서 보면 평면을 90° 돌린 것과 같다. 분수 푸리에 변환(fractional Fourier transform, FrFT)은 이 회전을 임의의 각 $\phi$로 넓힌 것이고, 각 대신 차수 $a=2\phi/\pi$로 나타낸다. $a=0$이면 신호 자체, $a=1$이면 푸리에 변환이다.

WVD를 각 $\phi$로 회전 축 $u$ 위로 모으면(축에 수직인 선을 따라 적분하면) 차수 $a$의 FrFT 크기의 제곱이 된다. 이 관계를 Radon–Wigner 변환이라 한다. chirp의 WVD는 기울어진 선이므로, 축 $u$가 그 선과 수직일 때 모든 에너지가 한 점에 모인다. 그래서 FrFT로 chirp를 찾거나 그 기울기를 잰다. 차수를 바꾸며 피크가 가장 날카로운 차수를 찾으면, 그 차수에서 chirp의 기울기가 정해진다.

chirp(50 → 200 Hz, 256 ms)의 WVD에서 0–250 Hz의 양수 부분을 시간과 주파수가 같은 길이가 되도록 정사각형에 놓았고, 각은 이 정사각형 위에서 잰다. 붉은 선은 회전 축 u이다.