정리·개념 확인·참고 자료 · 15장 시간-주파수 해석과 micro-Doppler

정리

STFT는 신호를 윈도우로 잘라 조각마다 DFT 하고, 그 스펙트럼을 시간 순서로 이어 스펙트로그램을 만든다.
윈도우 길이 $N$ 은 $\Delta t=N/f_s$ 와 $\Delta f=f_s/N$ 사이의 트레이드오프를 정한다. Gauss 윈도우의 STFT가 Gabor 변환이다.
Wigner–Ville 분포는 chirp 하나를 직선으로 날카롭게 그리지만, 성분이 여럿이면 그 가운데에 교차항이 생긴다.
분수 푸리에 변환은 시간-주파수 평면을 돌린 것이다. chirp는 그 선과 수직인 차수에서 한 점으로 모인다.
회전 날개는 $\pm2\Omega L/\lambda$ 까지 사인 모양의 micro-Doppler 띠를 그린다.
걷는 사람은 몸통 띠 위에 팔다리의 주기 무늬를 남기고, CVD가 그 cadence 주파수를 보인다.

샘플링 주파수 4 kHz에서 길이 256샘플의 윈도우로 STFT 하면 주파수 bin 간격은 몇 Hz인가?

풀이

답 15.625 Hz

힌트 $\Delta f=f_s/N$ 이다.

$4000/256=15.625$ Hz이다. 윈도우 길이는 $256/4000=64$ ms이고, 두 값의 곱은 1이다.

77 GHz 레이다가 길이 0.2 m의 날개가 5 rev/s로 도는 것을 본다. 날개 끝의 micro-Doppler 주파수는 몇 Hz인가?

풀이

답 3228 Hz

힌트 $v_{\mathrm{tip}}=2\pi\cdot\mathrm{rev}\cdot L$ 이다.

$v_{\mathrm{tip}}=2\pi\times5\times0.2=6.28$ m/s이고, $2\times6.28/0.003893=3228$ Hz이다. 회전 날개 절의 날개(0.1 m, 10 rev/s)와 끝 속도가 같다.

WVD로 본 두 톤 80 Hz와 180 Hz 사이에 130 Hz의 성분이 보였다. 이 성분은 무엇인가?

풀이

답 (가) 두 성분의 곱에서 생긴 교차항이다.

$x=x_1+x_2$ 이면 $x(t+\tau/2)x^*(t-\tau/2)$ 에 $x_1x_2^*$ 와 $x_2x_1^*$ 가 들어 있다. 이 항들은 두 주파수의 평균 130 Hz에서 $100$ Hz의 차로 진동하는 성분을 만든다.

걷는 사람의 보행 주기가 $T_{\mathrm{gait}}=1.079$ s이다. 두 발이 반 주기 어긋나 있으면 CVD에서 가장 센 줄은 몇 Hz에 서는가?

풀이

답 1.85 Hz

힌트 발 하나가 한 주기에 한 번 앞으로 나가고, 발은 둘이다.

무늬가 한 주기에 두 번 되풀이되므로 $2/T_{\mathrm{gait}}=2/1.079=1.85$ Hz이다.

V. C. Chen, The Micro-Doppler Effect in Radar. Norwood, MA, USA: Artech House, 2011, ISBN 978-1-60807-057-2.
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신호 및 시스템 7장 이산시간 시스템의 푸리에 해석. DFT, 윈도우와 관측 시간.