최대 거리와 샘플링

가장 먼 거리는 무엇이 정하는가? 펄스 레이다의 최대 거리는 반복 간격이 정했다. FMCW에서는 beat를 담는 샘플링이 정한다. 거리가 멀수록 beat가 높으므로, 샘플링 주파수가 담을 수 있는 가장 높은 beat가 최대 거리를 정한다.

IF를 실수 신호 하나로 받으면 $\cos(2\pi f_bt)$ 에는 $+f_b$ 와 $-f_b$ 성분이 함께 있어 두 부호를 구별할 수 없다. 그래서 실수 샘플링은 $f_s/2$ 까지의 beat만 쓴다(신호 및 시스템 7장의 샘플링). I와 Q를 함께 받는 복소 샘플링은 $e^{j2\pi f_bt}$ 의 부호까지 알아 $0\le f_b<f_s$ 를 모두 쓴다.

R_{\max}^{\text{실수}}=\frac{cf_s}{4K},\qquad R_{\max}^{\text{복소}}=\frac{cf_s}{2K}

8장 레이다의 chirp 하나(256개 샘플)를 DFT 한 크기이고, 가로축은 bin을 복소 샘플링 기준의 거리로 환산한 값이다. 실수 샘플링에서는 붉은 영역에 −f_b의 거울상이 생긴다.

8장 레이다는 복소 샘플링으로 $R_{\max}=127.9$ m이고, 같은 5.12 MHz로 실수 샘플링하면 64.0 m이다. 실수 샘플링에서 100 m의 표적은 beat 4.00 MHz가 $f_s/2=2.56$ MHz를 넘어 aliasing으로 27.9 m에 나타난다. 실제 장치는 최대 거리보다 먼 에코가 aliasing으로 들어오지 않도록 샘플링 전에 IF 대역을 필터로 자른다.

해 보기

실수 샘플링에서 100 m 표적이 몇 m에 나타나는지 확인하라.
관찰
27.9 m에 나타난다. aliasing된 자리와 거울상이 서로 바뀌었다.
같은 표적을 복소 샘플링으로 받으면 몇 m에 나타나는지 확인하라.
관찰
100.0 m에 그대로 나타난다.
복소 샘플링에서 140 m 표적이 몇 m에 나타나는지 확인하라.
관찰
aliasing으로 $140-127.9=12.1$ m에 나타난다. 복소 샘플링에도 한계는 있다.