정리·개념 확인·참고 자료 · 7장 FMCW와 beat frequency

정리

FMCW 레이다는 주파수를 $K=B/T_c$ 로 쉬지 않고 쓸어 올리며 송신과 수신을 함께 한다. 에코는 송신 chirp가 $\tau=2R/c$ 늦은 것이다.
송신 × 수신의 켤레는 주파수 $f_b=K\tau=2KR/c$ 의 톤이다. 거리를 재는 일이 주파수를 재는 일이 된다.
움직이면 $f_b=2KR/c-f_D$ 로 beat가 낮아져 거리가 $cf_D/(2K)$ 만큼 가깝게 보이지만, 큰 $K$ 에서는 이 어긋남이 range bin보다 훨씬 작다. 속도는 chirp마다 도는 위상 $-4\pi v_rT_c/\lambda$ 로 잰다.
최대 거리는 샘플링이 정한다. 실수 샘플링은 $cf_s/(4K)$ , 복소 샘플링은 $cf_s/(2K)$ 이다.
거리 분해능은 샘플을 받는 동안의 스윕 대역폭이 정한다: $\Delta R=c/(2B_{\text{스윕}})$ .
거리 분해능 → $B$ , 최대 속도 → $T_c$ , 최대 거리 → $f_s$ , 속도 분해능 → $N_c$ 의 순서로 정하면 8장의 레이다가 된다.

개념 확인

$B=1$ GHz, $T_c=40$ µs인 FMCW 레이다에서 10 m의 정지 표적의 beat frequency는 몇 kHz인가?

풀이

답 1668 kHz

힌트 $K=B/T_c$ 이다.

$K=10^9/(40\times10^{-6})=25$ MHz/µs $=2.5\times10^{13}$ Hz/s이고 $f_b=2KR/c=2\times2.5\times10^{13}\times10/(2.998\times10^8)=1.668$ MHz, 곧 1668 kHz이다.

8장 레이다( $K=6$ MHz/µs)의 IF를 $f_s=10$ MHz로 실수 샘플링한다. 최대 거리는 몇 m인가?

풀이

답 124.9 m

힌트 실수 샘플링은 $f_s/2$ 까지의 beat만 쓴다.

$R_{\max}=cf_s/(4K)=2.998\times10^8\times10^7/(4\times6\times10^{12})=124.9$ m이다. 복소 샘플링 5.12 MHz의 127.9 m와 비슷하다.

8장 레이다의 chirp 앞쪽 25 µs의 샘플만 쓰면 거리 분해능은 몇 m인가?

풀이

답 1.00 m

힌트 그동안 스윕 대역폭은 $K\times25$ µs이다.

$B_{\text{스윕}}=6\,\mathrm{MHz}/\mu\mathrm{s}\times25\,\mu\mathrm{s}=150$ MHz이고 $\Delta R=c/(2\times150\text{ MHz})=0.999$ m이다.

FMCW 레이다의 최대 속도를 두 배로 높이려고 $T_c$ 를 절반으로 줄였다. $B$ 와 $f_s$ 를 그대로 두면 어떻게 되는가?

(가) 최대 거리가 두 배가 된다.
(나) 거리 분해능이 절반이 된다.
(다) $K$ 가 두 배가 되어 최대 거리가 절반이 된다.
(라) 아무것도 바뀌지 않는다.

풀이

답 (다) $K$ 가 두 배가 되어 최대 거리가 절반이 된다.

(가) $R_{\max}=cf_s/(2K)$ 이고 $K$ 가 커졌으므로 준다.
(나) 분해능은 $c/(2B)$ 로 $B$ 만 정한다. 샘플이 chirp 전체를 덮는다면 그대로이다.
(라) $K=B/T_c$ 가 바뀌어 beat와 최대 거리가 바뀐다.

$K=B/T_c$ 가 두 배이므로 같은 거리의 beat도 두 배가 되고, $R_{\max}=cf_s/(2K)$ 는 절반이다. 최대 거리를 지키려면 $f_s$ 를 두 배로 올려야 한다. 이때 chirp당 샘플 수 $N_s=f_sT_c$ 는 그대로이다.

참고 자료

C. Iovescu and S. Rao, "The fundamentals of millimeter wave radar sensors," Texas Instruments, Dallas, TX, USA, White Paper SPYY005. https://www.ti.com/lit/pdf/spyy005
M. A. Richards, Fundamentals of Radar Signal Processing, 2nd ed. New York, NY, USA: McGraw-Hill Education, 2014, ISBN 978-0-07-179832-7. 4장(레이다 파형: LFM과 stretch processing).
M. Jankiraman, FMCW Radar Design. Norwood, MA, USA: Artech House, 2018, ISBN 978-1-63081-567-7.
신호 및 시스템 7장 이산시간 시스템의 푸리에 해석. 샘플링과 aliasing, DFT.
8장 Range-Doppler 처리. FMCW 설계에서 정한 레이다로 프레임을 처리한다.

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