위상을 맞추어 더하기: 배열 인자

여러 안테나의 값을 어떻게 더하면 한 방향만 강하게 받을 수 있는가? 안테나 값을 그냥 더하면 정면에서 온 에코만 같은 위상으로 쌓인다. 방향 $\theta_s$ 에서 온 에코를 쌓으려면 그 방향의 위상 무늬를 먼저 되돌려야 하고, 그러려면 안테나 $n$ 의 값에 $a_n(\theta_s)$ 의 켤레를 곱한다.

w_n=\frac{1}{N}\,a_n(\theta_s)^*=\frac{1}{N}e^{-j2\pi nd\sin\theta_s/\lambda},\qquad y(\theta)=\sum_{n=0}^{N-1}w_n\,a_n(\theta)=\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}e^{jn\psi},\quad \psi=\frac{2\pi d}{\lambda}(\sin\theta-\sin\theta_s)

$w_n$ 을 가중치, $y(\theta)$ 를 배열 출력이라 한다. $|y(\theta)|$ 를 $\theta$ 의 함수로 본 것을 배열 인자(array factor)라 하고, 이렇게 한 방향을 골라 받는 일을 빔포밍(beamforming)이라 한다. 에코가 $\theta_s$ 에서 오면 $\psi=0$ 이라 항 $N$ 개가 모두 같은 방향을 가리키고 $|y|=1$ 이 된다. 다른 방향에서 오면 항이 하나 건널 때마다 $\psi$ 씩 돌아 서로 지운다.

안테나 8개, d = λ/2이고, ①은 항 w_na_n(θ)를 머리와 꼬리로 이어 붙인 것이며 초록 화살표가 지금까지의 합이다. ②의 회색 곡선은 여덟 항을 모두 더한 |y|를 θ의 함수로 그린 것이고, 초록 점은 지금 θ에서 지금까지 더한 합의 크기이다.

해 보기

θ = 10°에서 여덟 항을 모두 더하면 합이 어떤 모양을 그리고 크기가 얼마인지 확인하라.
관찰
항이 하나마다 $\psi=31.3°$ 씩 돌아 합이 원호를 그린다. $|y|=0.380$ , 곧 $-8.4$ dB이다.
θ = 14.5°에서 여덟 항의 합이 어떻게 되는지 보고, 이 각이 빔에서 무슨 자리인지 생각해 보라.
관찰
$\psi=45.1°$ 라서 여덟 항이 거의 한 바퀴를 돌아 닫힌 팔각형에 가까워진다. $|y|=0.002$ 이다. $\psi=45°$ 가 되는 $14.48°$ 가 빔의 첫 영점이다.
조향 각이 20°이고 에코도 20°에서 들어올 때 여덟 항이 어떻게 더해지는지 확인하라.
관찰
$\psi=0$ 이라 항이 한 줄로 서서 $|y|=1$ 이 된다. 가중치를 바꾸면 안테나를 움직이지 않고도 빔이 20°로 옮겨 간다.

배열 인자는 8장의 사각 윈도우(창 함수) 응답과 같은 꼴이다. $\psi$ 가 시간 축의 주파수 자리에 있으므로, 항 $N$ 개의 합은 $|\sin(N\psi/2)/(N\sin(\psi/2))|$ 이다. 첫 영점은 $\psi=2\pi/N$ , 곧 $\sin\theta-\sin\theta_s=\lambda/(Nd)$ 에 선다. $N=8$ , $d=\lambda/2$ , 정면 조향이면 $\sin\theta=0.25$ , $\theta=14.48°$ 이다.