넓은 대역의 빔: squint와 TTD

빔을 위상으로 조향하면 주파수가 바뀔 때 빔은 어디를 가리키는가? 아날로그 빔포밍은 안테나마다 위상 천이기(phase shifter)를 달아 $-2\pi nd\sin\theta_s/\lambda$를 준다. 이 위상은 중심 주파수 $f_c$($\lambda=c/f_c$)에 맞춘 값이다. 에코의 위상 무늬는 주파수에 비례하므로($2\pi f\,nd\sin\theta/c$), 주파수 $f$에서는 다음 방향에서 온 에코의 무늬가 위상 천이기의 위상과 맞는다.

빔이 주파수에 따라 옆으로 옮겨 가는 것을 beam squint라 한다. 77 GHz에 맞추어 30°로 조향한 배열은 75 GHz에서 $30.89°$, 79 GHz에서 $29.17°$를 가리키므로, 낮은 주파수일수록 빔이 정면에서 더 멀어진다. 대역폭 4 GHz의 FMCW 레이다라면 chirp 하나 동안 빔이 1.7° 쓸리는데, 빔폭이 수 도인 배열에서는 이 값을 무시하기 어렵다.

위상 대신 시간을 늦추면 이 문제가 없다. $\theta_s$에서 온 에코는 안테나 $n$에 $\tau_n=nd\sin\theta_s/c$만큼 늦게 닿으므로, 먼저 닿은 안테나의 신호를 늦춘다. 안테나 $n$에 $(N-1-n)\tau_1$의 지연을 주면 모든 안테나의 에코가 같은 순간에 모인다. 공통 지연 $(N-1)\tau_1$을 빼고 보면 이 지연은 주파수 $f$에서 $e^{-j2\pi f\tau_n}$을 곱하는 것과 같다. 이 위상은 위상 천이기의 $-2\pi nd\sin\theta_s/\lambda$와 부호가 같다. 다만 $\lambda$ 대신 그 주파수의 파장이 들어가므로 모든 주파수에서 에코의 무늬와 맞는다. 이렇게 시간 지연으로 조향하는 방식을 TTD(true-time delay)라 한다. 디지털 빔포밍(11장)은 신호를 안테나마다 샘플로 받은 뒤 주파수마다 위상을 따로 주어 같은 일을 한다.

30°에서 온 에코의 위상은 주파수 $f$에서 안테나마다 $90°\times f/f_c$씩 늘고, 위상 천이기는 모든 주파수에서 안테나마다 $90°$씩 되돌린다. 75 GHz에서는 되돌리고 남은 위상이 안테나마다 $-2.34°$씩 쌓여 안테나 15에서 $-35.1°$가 된다. 그림에서 ▶를 누를 때마다 한 주파수의 남은 위상이 ①에 그려지고, 이어서 그 주파수의 빔이 ②에 그려진다.

안테나 16개, 77 GHz에서 d = λ/2, 30° 조향이고, 파란 파선은 대역의 아래 끝, 검은 실선은 가운데, 보라 점선은 위 끝 주파수이다. ②의 점은 각 빔의 피크이다.

남은 위상이 안테나마다 일정하게 쌓이면, 빔은 에코 자신의 위상 기울기가 그만큼 달라지는 방향, 곧 $\sin\theta=(f_c/f)\sin\theta_s$로 옮겨 간다. TTD로 바꾸면 되돌리는 위상도 $f$에 비례하므로 남은 위상이 모든 주파수에서 0이 되고, 세 빔이 모두 30°에 선다.